Dentre as equações abaixo que forem autônomas, encontre os pontos de equilibrio e classifique os como assintoticamente estável, instavel ou semiestável. Desenhe a reta de fase, um campo de direções e, sobre ele, algumas curvas integrais.
y{\prime}=(y-2){4}

Passo 1

Temos a EDO autônoma y'=(y-2)^4. O objetivo é achar os pontos de equilíbrio, estudar sua estabilidade, desenhar a reta de fase, o campo de direções e traçar algumas curvas integrais.

Passo 2

Para encontrar pontos de equilíbrio, igualamos y'=0:
(y-2)^4=0
A única solução é y=2, com multiplicidade 4.

Passo 3

Para classificar a estabilidade, analisamos o sinal de y'=(y-2)^4. Como a quarta potência é sempre não negativa, temos y'>=0 em todo o domínio. Se y<2, então (y-2)^4>0 e y cresce em direção a 2; se y>2, também (y-2)^4>0, então y cresce e se afasta de 2. Logo y=2 é semiestável, pois atrai do lado esquerdo e repele do lado direito.

Passo 4

Na reta de fase, desenhamos o eixo vertical representando y e marcamos o ponto y=2. Para y<2 colocamos setas apontando para cima em direção a 2 (atração), e para y>2 setas também para cima, mas rumo a valores maiores (repulsão).

Passo 5

No campo de direções, em cada ponto (t,y) desenhamos minissegmentos com inclinação (y-2)^4. Na linha y=2 as tangentes são horizontais; perto de 2 as inclinações são pequenas; quanto mais longe de 2, mais íngremes. Sobre esse campo, as curvas integrais que partem de y(0)<2 sobem e se aproximam de y=2 conforme tto+infty, enquanto as que partem de y(0)>2 crescem indefinidamente.

Resposta

O único ponto de equilíbrio é y=2, e ele é semiestável.

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