Dentre as equações abaixo que forem autônomas, encontre os pontos de equilibrio e classifique os como assintoticamente estável, instavel ou semiestável. Desenhe a reta de fase, um campo de direções e, sobre ele, algumas curvas integrais.
y{\prime}=(y-2){4}
y{\prime}=(y-2){4}
Passo 1
Temos a EDO autônoma
. O objetivo é achar os pontos de equilíbrio, estudar sua estabilidade, desenhar a reta de fase, o campo de direções e traçar algumas curvas integrais.
Passo 2
Para encontrar pontos de equilíbrio, igualamos
:
A única solução é
Passo 3
Para classificar a estabilidade, analisamos o sinal de
. Como a quarta potência é sempre não negativa, temos
em todo o domínio. Se
, então
e
cresce em direção a 2; se
, também
, então
cresce e se afasta de 2. Logo
é semiestável, pois atrai do lado esquerdo e repele do lado direito.
Passo 4
Na reta de fase, desenhamos o eixo vertical representando
e marcamos o ponto
. Para
colocamos setas apontando para cima em direção a 2 (atração), e para
setas também para cima, mas rumo a valores maiores (repulsão).
Passo 5
No campo de direções, em cada ponto
desenhamos minissegmentos com inclinação
. Na linha
as tangentes são horizontais; perto de 2 as inclinações são pequenas; quanto mais longe de 2, mais íngremes. Sobre esse campo, as curvas integrais que partem de
sobem e se aproximam de
conforme
, enquanto as que partem de
crescem indefinidamente.
Resposta
O único ponto de equilíbrio é
, e ele é semiestável.