Seja G(s), em que s=sigma+j omega, a função de transferência de um determinado sistema. Calcule a imagem do eixo imaginário inteiro; isto é, calcule G(j omega)=X+j Y, identificando as partes real X e imaginária Y. Considere T, L, omegan e zeta constantes reais.
G(s)=e^-s T

Passo 1

O enunciado pede para a gente calcular a resposta em frequência de G(s)=e^{-sT}, ou seja achar G(jω) e separar em parte real X(ω) e imaginária Y(ω). O conteúdo aqui é resposta em frequência de sistemas invariantes, e vamos precisar usar a substituição s=jω e a fórmula de Euler para exponenciais complexas.

Passo 2

Substituímos s por jω em G(s). Assim temos G(jω)=e^{-jωT}. Isso vem da definição de resposta em frequência, onde colocamos s=σ+jω e escolhemos σ=0 para o eixo imaginário.

Passo 3

Aplicamos a identidade de Euler:
e^-jomega T=cos(omega T)-jsin(omega T)
Explicando a teoria: a fórmula de Euler diz que e^jθ=cos θ + jsin θ, então basta trocar θ por -ωT.

Passo 4

Da expressão acima vemos que a parte real X(ω) é o cosseno de ωT e a parte imaginária Y(ω) é menos o seno de ωT.

Passo 5

Assim paramos na identificação das duas funções de ω que compõem a imagem do eixo imaginário.

Resposta

G(jω)=\cos(ωT) - j\sin(ωT), logo X(ω)=\cos(ωT) e Y(ω)=-\sin(ωT).

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