Seja
, em que
, a função de transferência de um determinado sistema. Calcule a imagem do eixo imaginário inteiro; isto é, calcule
, identificando as partes real
e imaginária
. Considere
e
constantes reais.
Passo 1
O enunciado pede para a gente calcular a resposta em frequência de G(s)=e^{-sT}, ou seja achar G(jω) e separar em parte real X(ω) e imaginária Y(ω). O conteúdo aqui é resposta em frequência de sistemas invariantes, e vamos precisar usar a substituição s=jω e a fórmula de Euler para exponenciais complexas.
Passo 2
Substituímos s por jω em G(s). Assim temos G(jω)=e^{-jωT}. Isso vem da definição de resposta em frequência, onde colocamos s=σ+jω e escolhemos σ=0 para o eixo imaginário.
Passo 3
Aplicamos a identidade de Euler:
Explicando a teoria: a fórmula de Euler diz que
, então basta trocar θ por -ωT.
Passo 4
Da expressão acima vemos que a parte real X(ω) é o cosseno de ωT e a parte imaginária Y(ω) é menos o seno de ωT.
Passo 5
Assim paramos na identificação das duas funções de ω que compõem a imagem do eixo imaginário.
Resposta
G(jω)=\cos(ωT) - j\sin(ωT), logo X(ω)=\cos(ωT) e Y(ω)=-\sin(ωT).