Obtenha as séries de Taylor de cada uma das funções abaixo em torno dos pontos dados. Descreva a região de convergência.
Passo 1
Neste exercício, vamos encontrar a série de Taylor (ou Maclaurin, pois o ponto é z₀=0) da função . O conteúdo principal é séries de potências em torno de um ponto e vamos usar a fórmula de Taylor, que exige as derivadas de em , além de analisar a convergência com o teste da razão.
Passo 2
Para aplicar a fórmula de Taylor, calculamos as derivadas de em e identificamos o padrão: , → , → , → , → , e assim por diante. Note que apenas as derivadas de ordem par são não nulas e seguem o padrão para a ordem .
Passo 3
Substituímos esses valores na fórmula de Taylor em torno de zero:
Como só os termos com contribuem, obtemos
Passo 4
Para a região de convergência, aplicamos o teste da razão em séries de potências. Tomando , temos
Como esse limite é zero para todo z, o raio de convergência é infinito, e a série converge para todo zinC.
Resposta
cos(z)=sumn=0^infty(-1)^nz^2n(2n)!,conver>= para todo zinC