Obtenha as séries de Taylor de cada uma das funções abaixo em torno dos pontos z0 dados. Descreva a região de convergência.
cos (z) ; z0=0

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar a série de Taylor (ou Maclaurin, pois o ponto é z₀=0) da função cos(z). O conteúdo principal é séries de potências em torno de um ponto e vamos usar a fórmula de Taylor, que exige as derivadas de cos(z) em z=0, além de analisar a convergência com o teste da razão.

Passo 2

Para aplicar a fórmula de Taylor, calculamos as derivadas de cos(z) em z=0 e identificamos o padrão: cos(0)=1, cos'(z)=-sin(z) cos'(0)=0, cos''(z)=-cos(z) cos''(0)=-1, cos'''(z)=sin(z) cos'''(0)=0, cos^(4)(z)=cos(z) cos^(4)(0)=1, e assim por diante. Note que apenas as derivadas de ordem par são não nulas e seguem o padrão (-1)^n para a ordem 2n.

Passo 3

Substituímos esses valores na fórmula de Taylor em torno de zero:
cos(z)=sumk=0^inftycos^(k)(0)k!,z^k
Como só os termos com k=2n contribuem, obtemos
cos(z)=sumn=0^infty(-1)^nz^2n(2n)!

Passo 4

Para a região de convergência, aplicamos o teste da razão em séries de potências. Tomando an=(-1)^n/(2n)!, temos
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty1(2n+1)(2n+2)=0
Como esse limite é zero para todo z, o raio de convergência é infinito, e a série converge para todo zinC.

Resposta

cos(z)=sumn=0^infty(-1)^nz^2n(2n)!,conver>= para todo zinC

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