Seja G(s), em que s=sigma+j omega, a função de transferência de um determinado sistema. Calcule a imagem do eixo imaginário inteiro; isto é, calcule G(j omega)=X+j Y, identificando as partes real X e imaginária Y. Considere T, L, omegan e zeta constantes reais.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a resposta em frequência de
G(s)=1/(1+2ζ(s/ωₙ)+(s/ωₙ)²)
quando s=jω, ou seja G(jω)=X+jY, identificando X e Y em função de ω, ζ e ωₙ. Vamos usar conceitos de resposta em frequência e números complexos.

Passo 2

Substituímos s=jω em G(s) e escrevemos o denominador na forma a+jb:
G(jω)=11+2ζjωωn+l(jωωnr)^2 =11-l(ωωnr)^2+j2ζωωn

Passo 3

Definimos as partes real e imaginária do denominador:
a=1-l(ωωnr)^2, b=2ζωωn

Passo 4

Para tirar a parte real e imaginária de 1/(a+jb), multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado (a−jb):
1a+jb=a−jb(a+jb)(a−jb)=a−jba^2+b^2

Passo 5

Da expressão acima vemos que a parte real é X=a/(a²+b²) e a parte imaginária é Y=−b/(a²+b²). Substituindo a e b em termos de ω, ζ e ωₙ obtemos as fórmulas finais.

Resposta

X(ω)=1-l(tfracωωnr)^2l[1-l(tfracωωnr)^2r]^2+4ζ^2l(tfracωωnr)^2
Y(ω)=-2ζl(tfracωωnr)l[1-l(tfracωωnr)^2r]^2+4ζ^2l(tfracωωnr)^2

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