Seja
, em que
, a função de transferência de um determinado sistema. Calcule a imagem do eixo imaginário inteiro; isto é, calcule
, identificando as partes real
e imaginária
. Considere
e
constantes reais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a resposta em frequência de
G(s)=1/(1+2ζ(s/ωₙ)+(s/ωₙ)²)
quando s=jω, ou seja G(jω)=X+jY, identificando X e Y em função de ω, ζ e ωₙ. Vamos usar conceitos de resposta em frequência e números complexos.
G(s)=1/(1+2ζ(s/ωₙ)+(s/ωₙ)²)
quando s=jω, ou seja G(jω)=X+jY, identificando X e Y em função de ω, ζ e ωₙ. Vamos usar conceitos de resposta em frequência e números complexos.
Passo 2
Substituímos s=jω em G(s) e escrevemos o denominador na forma a+jb:
Passo 3
Definimos as partes real e imaginária do denominador:
Passo 4
Para tirar a parte real e imaginária de 1/(a+jb), multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado (a−jb):
Passo 5
Da expressão acima vemos que a parte real é X=a/(a²+b²) e a parte imaginária é Y=−b/(a²+b²). Substituindo a e b em termos de ω, ζ e ωₙ obtemos as fórmulas finais.