Dentre as funçc̃es apresentadas, qual delas é uma solução para a equação diferencial
(d yd x)^2+8 x^3 d yd x=16 x^2 y
a) y=e^2 x-2 x^2
b) y=x+x^2
c) y=1-2 x^2
d) y=x e^2 x
e) y=1-ln (x)
O
O
  • C
    A
    B

Passo 1

A equação diferencial dada é (dy/dx)^2 + 8x^3,(dy/dx) = 16x^2,y e temos cinco funções candidatas para y(x). Nosso objetivo é descobrir qual delas, ao substituir em y' na equação, faz os dois lados coincidir.
O método geral é: para cada função y(x), calculamos sua derivada y'(x), substituímos na expressão (y')^2 + 8x^3y' e comparamos com 16x^2y. Se der igualdade, encontramos a solução.

Passo 2

Escolhendo a opção © y(x)=1-2x^2, calculamos
y'(x)=ddx(1-2x^2)=-4x

Passo 3

Agora substituímos em cada lado da EDO:
(y')^2 + 8x^3y' = (-4x)^2 + 8x^3(-4x) = 16x^2 - 32x^4,

Passo 4

16x^2y = 16x^2(1-2x^2) = 16x^2 - 32x^4

Passo 5

Como ambos os lados coincidem, concluímos que y(x)=1-2x^2 de fato satisfaz a equação diferencial.

Resposta

y(x)=1-2x^2 (opção c)

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