A solução geral da EDO y^prime+3 x^2 y=x e^-x^3 é dada por:
a) y=12 x^5+C x^3
b) y=x^22+C e^-x^3
c) y=12 x^-1+C x^-3
d) y=x^32+C e^x^3
e) y=x^22 e^-x^3+C e^-x^3
Correct!
(o) E

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear de 1ª ordem
y' + 3x^2,y = x,e^-x^3
O conteúdo aqui é o método do fator integrante para equações lineares, e vamos precisar calcular mu(x), multiplicar a EDO por ela e integrar.

Passo 2

Para uma EDO do tipo
y' + P(x),y = Q(x)
o fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx. Aqui temos P(x)=3x^2, então
mu(x) = e^integral 3x^2,dx = e^x^3

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^x^3. Assim:
e^x^3y' + 3x^2e^x^3y = x e^-x^3e^x^3 = x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y e^x^3, ou seja
ddxl(y e^x^3r) = x

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y e^x^3 = integral x,dx = x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, isolamos y:
y = l(tfracx^22 + Cr)e^-x^3 = x^22e^-x^3 + C e^-x^3

Resposta

y = \frac{x2}{2}e{-x^3} + C e{-x3}

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