Resolver a equação: 2.x. |1-x|-|x^2-4|+x-10=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação 2x·|1−x| − |x²−4| + x − 10 = 0, que envolve valores absolutos. Para isso, vamos usar as definições por partes de |1−x| e de |x²−4| e analisar intervalos nos quais os sinais internos mudam.

Passo 2

Primeiro identificamos os pontos onde os argumentos dos valores absolutos trocam de sinal: 1−x=0 em x=1 e x²−4=0 em x=±2. Assim, trabalharemos nos intervalos (−∞,−2], (−2,1], (1,2] e (2,∞).

Passo 3

No intervalo x≤−2, temos |1−x|=1−x e |x²−4|=x²−4. Substituindo na equação: 2x(1−x) − (x²−4) + x − 10 = 0, que simplifica para −3x² + 3x − 6 = 0. Essa equação não possui raízes reais.

Passo 4

Em −2<x≤1, temos |1−x|=1−x e |x²−4|=4−x². A equação vira 2x(1−x) − (4−x²) + x − 10 = 0, ou seja −x² + 3x − 14 = 0, sem soluções reais nesse intervalo.

Passo 5

Para 1<x≤2, temos |1−x|=x−1 e |x²−4|=4−x². A equação torna-se 3x² − x − 14 = 0, cujas raízes são x = −2 e x = 7/3. Nenhuma delas pertence ao intervalo (1,2].

Passo 6

Em x>2, temos |1−x|=x−1 e |x²−4|=x²−4. A equação fica x² − x − 6 = 0, com soluções x = −2 e x = 3; apenas x = 3 satisfaz x>2.

Resposta

x = 3

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