Dentre as funções listadas a seguir, verifique quais são homogêneas calculando, nesses casos, o grau.
f(x, y)=x^{4}-x y

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=x^{4}-x y
é homogênea e, caso seja, determinar o grau de homogeneidade.
Informações fornecidas:
  • A função explícita é \;f(x,y)=x^{4}-x y.\n
  • A tarefa é: (i) verificar se existe algum número k tal que f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{k}f(x,y) para todo \lambda (ou para todo \lambda real não nulo); (ii) se existir, encontrar esse k.

Passo 2

Definição e ideia prática (aulas rápidas):
  • Uma função de duas variáveis f(x,y) é chamada homogênea de grau k se, para todo escalar \lambda,
f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{k}f(x,y).
Aqui k é um número real (geralmente inteiro para polinômios).
  • Para polinômios é muito prático usar a seguinte observação: um polinômio é homogêneo de grau k se e somente se todos os monômios que aparecem têm a mesma soma de expoentes igual a k. Por exemplo, x^{3}+2x^{2}y é homogêneo de grau 3 porque 3 (do termo x^{3}) e 2+1=3 (do termo x^{2}y) coincidem.
Explicando o que significa a “soma de expoentes”: num monômio x^{a}y^{b} o grau total do monômio é a+b. Esse número é o que tem que ser igual a k para todos os monômios em um polinômio homogêneo.

Passo 3

Aplicando a verificação por monômios à função dada:
  • O primeiro termo é x^{4}. O grau total desse monômio é 4 porque os expoentes somam 4+0=4.
  • O segundo termo é x y. O grau total desse monômio é 2 porque os expoentes somam 1+1=2.
Já aqui aparece uma incompatibilidade: os monômios têm graus 4 e 2, que são diferentes. Pelo critério dos monômios, isso indica que o polinômio não é homogêneo (porque não é possível escolher um único k que seja ao mesmo tempo 4 e 2).

Passo 4

Verificação via propriedade de escala (cheque direto):
  • Calcular f(\lambda x,\lambda y):
f(\lambda x,\lambda y)=(\lambda x)^{4}-(\lambda x)(\lambda y)=\lambda^{4}x^{4}-\lambda^{2}x y.
  • Se f fosse homogênea de grau k, deveríamos ter para todo \lambda:
\lambda^{4}x^{4}-\lambda^{2}x y=\lambda^{k}\bigl(x^{4}-x y\bigr).
Isto implicaria que os fatores de \lambda em frente a x^{4} e a x y deveriam ser ambos iguais a \lambda^{k}. Ou seja, comparar os dois termos dá as condições \lambda^{4}=\lambda^{k} e \lambda^{2}=\lambda^{k} para todo \lambda, o que forçaria k=4 e k=2 simultaneamente — impossível. Logo não existe tal k.
Uma forma simples de ver a contradição é fixar x e y não nulos e variar \lambda: os dois termos escalam de formas diferentes em \lambda, então não existe fator comum \lambda^{k} que reúna os dois.

Passo 5

Conclusão e lembrete prático:
  • Como os monômios têm graus diferentes (4 e 2) e a verificação por escala apresenta potências diferentes de \lambda, a função \;f(x,y)=x^{4}-x y\; não é homogênea.
    Dica para a prova: ao ver um polinômio, primeiro cheque rapidamente os graus dos monômios; se não baterem, já pode afirmar que não é homogêneo sem cálculo extra. Força aí — já é meio caminho andado!

Resposta

A função f(x,y)=x^{4}-x y não é homogênea (não existe grau k).

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