Dentre as funções listadas a seguir, verifique quais são homogêneas calculando, nesses casos, o grau.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é homogênea e, caso seja, determinar o grau de homogeneidade.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função explícita é
.\n - A tarefa é: (i) verificar se existe algum número
tal que para todo (ou para todo real não nulo); (ii) se existir, encontrar esse .
Passo 2
Definição e ideia prática (aulas rápidas):
- Uma função de duas variáveis
é chamada homogênea de grau se, para todo escalar ,
Aqui
é um número real (geralmente inteiro para polinômios).
- Para polinômios é muito prático usar a seguinte observação: um polinômio é homogêneo de grau
se e somente se todos os monômios que aparecem têm a mesma soma de expoentes igual a . Por exemplo, é homogêneo de grau porque (do termo ) e (do termo ) coincidem.
Explicando o que significa a “soma de expoentes”: num monômio
o grau total do monômio é
. Esse número é o que tem que ser igual a
para todos os monômios em um polinômio homogêneo.
Passo 3
Aplicando a verificação por monômios à função dada:
- O primeiro termo é
. O grau total desse monômio é porque os expoentes somam . - O segundo termo é
. O grau total desse monômio é porque os expoentes somam .
Já aqui aparece uma incompatibilidade: os monômios têm graus
e
, que são diferentes. Pelo critério dos monômios, isso indica que o polinômio não é homogêneo (porque não é possível escolher um único
que seja ao mesmo tempo
e
).
Passo 4
Verificação via propriedade de escala (cheque direto):
- Calcular
:
- Se
fosse homogênea de grau , deveríamos ter para todo :
Isto implicaria que os fatores de
em frente a
e a
deveriam ser ambos iguais a
. Ou seja, comparar os dois termos dá as condições
e
para todo
, o que forçaria
e
simultaneamente — impossível. Logo não existe tal
.
Uma forma simples de ver a contradição é fixar
e
não nulos e variar
: os dois termos escalam de formas diferentes em
, então não existe fator comum
que reúna os dois.
Passo 5
Conclusão e lembrete prático:
- Como os monômios têm graus diferentes (4 e 2) e a verificação por escala apresenta potências diferentes de
, a função não é homogênea.
Dica para a prova: ao ver um polinômio, primeiro cheque rapidamente os graus dos monômios; se não baterem, já pode afirmar que não é homogêneo sem cálculo extra. Força aí — já é meio caminho andado!
Resposta
A função
não é homogênea (não existe grau
).