Calcule.
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-x}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é a razão entre um polinômio de grau 3 e um polinômio de grau 2.
  • Como é uma integral indefinida, o resultado deve conter a constante de integração C.
  • O denominador pode ser fatorado como x^{2}-x=x(x-1), o que é útil para decomposição em frações parciais.

Passo 2

Observação importante (divisão de polinômios): quando o numerador tem grau maior ou igual ao denomidador, primeiro fazemos divisão de polinômios para escrever a função como polinômio + fração própria (grau do numerador menor que o do denominador). Vamos dividir x^{3}+x+1 por x^{2}-x.
Faço a divisão passo a passo:
\frac{x^{3}+0x^{2}+x+1}{x^{2}-x}=x+\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x}.
Detalhando a subtração: x\cdot(x^{2}-x)=x^{3}-x^{2}. Subtraindo obtemos x^{2}+x+1. Agora divido novamente:
x^{2}+x+1 = 1\cdot(x^{2}-x) + (2x+1).
Logo a divisão completa dá
\frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-x}=x+1+\frac{2x+1}{x^{2}-x}.

Passo 3

Agora tenho a integral escrita como soma de termos mais simples:
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-x}\,dx = \int\left(x+1+\frac{2x+1}{x(x-1)}\right)dx.
Explicando: a última fração tem denominador fatorado x(x-1). Para integrá-la é natural usar decomposição em frações parciais do tipo
\frac{2x+1}{x(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Determinação dos coeficientes A\) e \(B\). Igualando numeradores: \[2x+1 = A(x-1)+Bx.
Distribuindo e agrupando termos:
2x+1 = (A+B)x - A.
Comparando coeficientes para x e para a constante:
\begin{cases} A+B = 2,\\[4pt] - A = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem (A=-1]. Substituindo na primeira:
-1 + B = 2 \quad\Rightarrow\quad B=3.
Portanto
\frac{2x+1}{x(x-1)} = -\frac{1}{x} + \frac{3}{x-1}.]

Passo 5

Substituindo na integral e separando termos:
\int\left(x+1+\frac{2x+1}{x(x-1)}\right)dx = \int x\,dx + \int 1\,dx + \int\left(-\frac{1}{x}+\frac{3}{x-1}\right)dx.
Vou integrar termo a termo. Lembrete das fórmulas básicas que vou usar:
  • Para qualquer constante a, \displaystyle \int a\,dx = ax + C.
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • Mais geral, para constante a, \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. Isso vem da substituição u=x-a.

Passo 6

Aplico as fórmulas às parcelas:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \qquad \int 1\,dx = x,
\int \left(-\frac{1}{x}\right)dx = -\ln|x|, \qquad \int \frac{3}{x-1}\,dx = 3\ln|x-1|.
Somando tudo (e recolhendo uma única constante de integração C):
\int \frac{x^{3}+x+1}{x^{2}-x}\,dx = \frac{x^{2}}{2} + x - \ln|x| + 3\ln|x-1| + C.

Passo 7

Opcional: é comum juntar os logaritmos num único logaritmo, usando \ln a + \ln b = \ln(ab) e k\ln a=\ln(a^{k}). Assim
- \ln|x| + 3\ln|x-1| = \ln\!\left(\frac{|x-1|^{3}}{|x|}\right),
mas ambas as formas (separada ou combinada) são equivalentes.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+x-\ln|x|+3\ln|x-1|+C

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