Calcule.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é a razão entre um polinômio de grau 3 e um polinômio de grau 2.
- Como é uma integral indefinida, o resultado deve conter a constante de integração
. - O denominador pode ser fatorado como
, o que é útil para decomposição em frações parciais.
Passo 2
Observação importante (divisão de polinômios): quando o numerador tem grau maior ou igual ao denomidador, primeiro fazemos divisão de polinômios para escrever a função como polinômio + fração própria (grau do numerador menor que o do denominador). Vamos dividir
por
.
Faço a divisão passo a passo:
Detalhando a subtração:
. Subtraindo obtemos
. Agora divido novamente:
Logo a divisão completa dá
Passo 3
Agora tenho a integral escrita como soma de termos mais simples:
Explicando: a última fração tem denominador fatorado
. Para integrá-la é natural usar decomposição em frações parciais do tipo
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Determinação dos coeficientes
Distribuindo e agrupando termos:
Comparando coeficientes para
e para a constante:
Da segunda equação vem (A=-1]. Substituindo na primeira:
Portanto
]
Portanto
Passo 5
Substituindo na integral e separando termos:
Vou integrar termo a termo. Lembrete das fórmulas básicas que vou usar:
- Para qualquer constante
, . -
. -
. - Mais geral, para constante
, . Isso vem da substituição .
Passo 6
Aplico as fórmulas às parcelas:
Somando tudo (e recolhendo uma única constante de integração
):
Passo 7
Opcional: é comum juntar os logaritmos num único logaritmo, usando
e
. Assim
mas ambas as formas (separada ou combinada) são equivalentes.