Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, f(\mathrm{x})=(\mathrm{x}, 2)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,\qquad f(x) = (x,2),
e pede para verificar se f é linear. Para isso, vamos usar o conceito de transformação linear em espaços vetoriais, que exige duas propriedades: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando a definição: uma aplicação f é linear se, para todos x,y\in\mathbb{R} e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem
  1. f(x + y) = f(x) + f(y)
  2. f(\alpha x) = \alpha\,f(x)

Passo 3

Verificação da aditividade:
f(x+y) = \bigl(x+y,\;2\bigr),
enquanto
f(x) + f(y) = (x,2) + (y,2) = (x+y,\;4).
Como (x+y,2)\neq(x+y,4), a aditividade falha.

Passo 4

Verificação da homogeneidade:
f(\alpha x) = \bigl(\alpha x,\;2\bigr),
porém
\alpha\,f(x) = \alpha\,(x,2) = (\alpha x,\;2\alpha).
Aqui também (\alpha x,2)\neq(\alpha x,2\alpha) para quase todo \alpha, então a homogeneidade falha.

Resposta

A transformação f(x)=(x,2) não é linear.

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