Uma linha infinita de carga possui densidade linear
. Se dobrarmos a distância de um ponto “P” em relação à linha, o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento " L " que envolve a linha:
A) Reduz-se à metade.
B) Quadruplica.
C) Permanece o mesmo.
D) Reduz-se por um fator de
.
E) Torna-se nulo por simetria.
A) Reduz-se à metade.
B) Quadruplica.
C) Permanece o mesmo.
D) Reduz-se por um fator de
E) Torna-se nulo por simetria.
Passo 1
O enunciado e os dados (vou listar direitinho):
- Há uma linha infinita de carga com densidade linear
. - Considera-se uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento
que envolve (ou é concêntrica com) essa linha. - Pergunta: se dobrarmos a distância (o raio) de um ponto
até a linha, o que acontece com o fluxo elétrico através dessa superfície cilíndrica? As alternativas dadas são:
A) Reduz-se à metade.
B) Quadruplica.
C) Permanece o mesmo.
D) Reduz-se por um fator de.
E) Torna-se nulo por simetria.
Passo 2
O que é fluxo elétrico e como o representamos matematicamente:
- Definição: o fluxo elétrico através de uma superfície
é a integral do produto escalar do campo elétrico pela área orientada :
- Interpretação do produto escalar:
, onde é o ângulo entre e o vetor normal da superfície em cada ponto. Se (campo perpendicular e saindo da superfície) então contribui positivament e com magnitude ; se não contribui.
Passo 3
Simetria do problema e escolha da superfície: por que usar um cilindro concêntrico?
- A linha é infinita e tem densidade constante
: isso gera simetria cilíndrica. Ou seja, o campo elétrico depende só da distância radial ao eixo e aponta radialmente para fora (ou para dentro, dependendo do sinal de ). - Para um cilindro gaussiano concêntrico com a linha:
- No casco lateral (a superfície curva) o vetor normal aponta radialmente, então
é paralelo ao vetor normal ali e tem mesma magnitude em todo o casco (mesmo ). - Nas tampas (as faces circulares nas extremidades) o vetor normal é axial; o campo
não tem componente axial (é puramente radial), logo nas tampas.
- No casco lateral (a superfície curva) o vetor normal aponta radialmente, então
- Conclusão da simetria (sem calcular ainda): só o casco lateral contribui para o fluxo e o campo no casco é constante em módulo.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss (aula rápida sobre ela) e cálculo do fluxo:
- Lei de Gauss (forma integral): a soma do fluxo elétrico por toda superfície fechada
é igual à carga total interna dividida por :
- Aqui a carga encerrada pelo cilindro é a carga numa seção de comprimento
da linha:
- Logo o fluxo total pela superfície fechada vale
- Observe que nessa expressão não aparece o raio
: o fluxo depende apenas da carga encerrada e de . Portanto é independente da distância radial que escolhemos para o cilindro.
Passo extra (mostrando o cancelamento explícito se preferir ver a conta com
):
- A partir da mesma Lei de Gauss podemos obter o módulo do campo elétrico na superfície radial
:
- Se calcularmos o fluxo diretamente pelo casco lateral:
e o
cancela explicitamente, confirmando que
não muda quando
varia.
Passo 5
Interpretação final e dica de prova (amigável):
- O fluxo elétrico através do cilindro depende só da carga que está dentro da superfície, não de quão “larga” é a superfície, desde que ela continue envolvendo a carga. Dobrar a distância radial (o raio
) não altera a carga interna , portanto não altera o fluxo. - Dica prática: sempre que vir “fluxo através de uma superfície fechada” e houver simetria, lembre imediatamente da Lei de Gauss — muitas alternativas que tentam confundir falham porque esquecem que o fluxo conta só a carga interna.
Resposta
C) Permanece o mesmo.