Uma linha infinita de carga possui densidade linear \lambda. Se dobrarmos a distância de um ponto “P” em relação à linha, o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento " L " que envolve a linha:
A) Reduz-se à metade.
B) Quadruplica.
C) Permanece o mesmo.
D) Reduz-se por um fator de 1 / \mathrm{r}.
E) Torna-se nulo por simetria.

Passo 1

O enunciado e os dados (vou listar direitinho):
  • Há uma linha infinita de carga com densidade linear \lambda.
  • Considera-se uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento L que envolve (ou é concêntrica com) essa linha.
  • Pergunta: se dobrarmos a distância (o raio) de um ponto P até a linha, o que acontece com o fluxo elétrico através dessa superfície cilíndrica? As alternativas dadas são:
    A) Reduz-se à metade.
    B) Quadruplica.
    C) Permanece o mesmo.
    D) Reduz-se por um fator de 1/r.
    E) Torna-se nulo por simetria.

Passo 2

O que é fluxo elétrico e como o representamos matematicamente:
  • Definição: o fluxo elétrico através de uma superfície S é a integral do produto escalar do campo elétrico \mathbf{E} pela área orientada d\mathbf{A}:
\Phi = \oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
  • Interpretação do produto escalar: \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\,\cos\theta\,dA, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{E} e o vetor normal da superfície em cada ponto. Se \theta=0 (campo perpendicular e saindo da superfície) então contribui positivament e com magnitude E\,dA; se \theta=90^\circ não contribui.

Passo 3

Simetria do problema e escolha da superfície: por que usar um cilindro concêntrico?
  • A linha é infinita e tem densidade constante \lambda: isso gera simetria cilíndrica. Ou seja, o campo elétrico depende só da distância radial r ao eixo e aponta radialmente para fora (ou para dentro, dependendo do sinal de \lambda).
  • Para um cilindro gaussiano concêntrico com a linha:
    • No casco lateral (a superfície curva) o vetor normal aponta radialmente, então \mathbf{E} é paralelo ao vetor normal ali e tem mesma magnitude em todo o casco (mesmo r).
    • Nas tampas (as faces circulares nas extremidades) o vetor normal é axial; o campo \mathbf{E} não tem componente axial (é puramente radial), logo \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0 nas tampas.
  • Conclusão da simetria (sem calcular ainda): só o casco lateral contribui para o fluxo e o campo no casco é constante em módulo.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss (aula rápida sobre ela) e cálculo do fluxo:
  • Lei de Gauss (forma integral): a soma do fluxo elétrico por toda superfície fechada S é igual à carga total interna dividida por \varepsilon_0:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
  • Aqui a carga encerrada pelo cilindro é a carga numa seção de comprimento L da linha:
Q_{\text{int}}=\lambda L.
  • Logo o fluxo total pela superfície fechada vale
\Phi=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
  • Observe que nessa expressão não aparece o raio r: o fluxo depende apenas da carga encerrada \lambda L e de \varepsilon_0. Portanto é independente da distância radial que escolhemos para o cilindro.
Passo extra (mostrando o cancelamento explícito se preferir ver a conta com E(r)):
  • A partir da mesma Lei de Gauss podemos obter o módulo do campo elétrico na superfície radial r:
E(r)\, (2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.
  • Se calcularmos o fluxo diretamente pelo casco lateral:
\Phi = E(r)\times(2\pi r L)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\times(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0},
e o r cancela explicitamente, confirmando que \Phi não muda quando r varia.

Passo 5

Interpretação final e dica de prova (amigável):
  • O fluxo elétrico através do cilindro depende só da carga que está dentro da superfície, não de quão “larga” é a superfície, desde que ela continue envolvendo a carga. Dobrar a distância radial (o raio r) não altera a carga interna \lambda L, portanto não altera o fluxo.
  • Dica prática: sempre que vir “fluxo através de uma superfície fechada” e houver simetria, lembre imediatamente da Lei de Gauss — muitas alternativas que tentam confundir falham porque esquecem que o fluxo conta só a carga interna.

Resposta

C) Permanece o mesmo.

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