Dentre 9 números positivos e 5 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números sem reposição e multiplicam-se esses números. Qual é a probabilidade de o produto ser um número positivo?.

Passo 1

Vamos lá! Temos um total de 14 números, sendo 9 positivos e 5 negativos. Queremos escolher 4 números de forma aleatória, sem repetir, e multiplicá-los. A nossa missão é descobrir qual a probabilidade de o resultado dessa multiplicação ser um número positivo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras podemos escolher esses números.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o total de maneiras possíveis de escolher 4 números dentre os 14 disponíveis. Para isso, usamos a combinação, que é representada por $ C(n, k) $ e nos diz de quantas formas podemos escolher $ k $ elementos de um conjunto com $ n $ elementos, sem importar a ordem.
Então, o total de combinações possíveis é:
C(n, k)
Calculando isso:
k
Portanto, há 1001 maneiras diferentes de escolher 4 números dentre os 14.

Passo 3

Agora, precisamos determinar de quantas dessas combinações o produto dos 4 números será positivo. Para que o produto seja positivo, precisamos que o número de números negativos escolhidos seja par (ou seja, 0, 2 ou 4 negativos), porque:
  • Multiplicar um número par de negativos resulta em um positivo.
  • Multiplicar um número ímpar de negativos resulta em um negativo.
Então, vamos calcular as combinações para cada caso:
Caso 1: Nenhum número negativo (0 negativos e 4 positivos)
C(5, 0) times C(9, 4)
= 1 times 126 = 126
Caso 2: Dois números negativos e dois positivos
C(5, 2) times C(9, 2)
= 10 times 36 = 360
Caso 3: Quatro números negativos
C(5, 4) times C(9, 0)
= 5 times 1 = 5

Passo 4

Agora, somamos todas essas combinações que resultam em um produto positivo:
126 + 360 + 5 = 491

Passo 5

Finalmente, para encontrar a probabilidade de o produto ser positivo, dividimos o número de combinações favoráveis pelo total de combinações possíveis:
Probabilidade = 4911001

Resposta

A probabilidade de o produto dos 4 números escolhidos ser positivo é 4911001, ou aproximadamente 49,05%.

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