Dentre 9 números positivos e 5 negativos, escolhem-se ao acaso 4 números sem reposição e multiplicam-se esses números. Qual é a probabilidade de o produto ser um número positivo?.
Passo 1
Vamos lá! Temos um total de 14 números, sendo 9 positivos e 5 negativos. Queremos escolher 4 números de forma aleatória, sem repetir, e multiplicá-los. A nossa missão é descobrir qual a probabilidade de o resultado dessa multiplicação ser um número positivo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras podemos escolher esses números.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o total de maneiras possíveis de escolher 4 números dentre os 14 disponíveis. Para isso, usamos a combinação, que é representada por $ C(n, k) $ e nos diz de quantas formas podemos escolher $ k $ elementos de um conjunto com $ n $ elementos, sem importar a ordem.
Então, o total de combinações possíveis é:
Calculando isso:
Portanto, há 1001 maneiras diferentes de escolher 4 números dentre os 14.
Passo 3
Agora, precisamos determinar de quantas dessas combinações o produto dos 4 números será positivo. Para que o produto seja positivo, precisamos que o número de números negativos escolhidos seja par (ou seja, 0, 2 ou 4 negativos), porque:
- Multiplicar um número par de negativos resulta em um positivo.
- Multiplicar um número ímpar de negativos resulta em um negativo.
Então, vamos calcular as combinações para cada caso:
Caso 1: Nenhum número negativo (0 negativos e 4 positivos)
Caso 2: Dois números negativos e dois positivos
Caso 3: Quatro números negativos
Passo 4
Agora, somamos todas essas combinações que resultam em um produto positivo:
Passo 5
Finalmente, para encontrar a probabilidade de o produto ser positivo, dividimos o número de combinações favoráveis pelo total de combinações possíveis:
Resposta
A probabilidade de o produto dos 4 números escolhidos ser positivo é
, ou aproximadamente 49,05%.