Dentre os planos que distam 2 de pi: x-y+z=0, qual é o que está mais próximo de (2,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o plano pi: x - y + z = 0 e queremos encontrar, dentre todos os planos que estão a uma distância de 2 unidades desse plano pi, aquele que está mais próximo do ponto (2, 1, 1). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre planos paralelos e a distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois planos são paralelos se eles possuem os mesmos coeficientes angulares, ou seja, as mesmas direções normais. O plano pi dado por x - y + z = 0 tem uma direção normal representada pelo vetor (1, -1, 1). Portanto, qualquer plano paralelo a pi terá a forma x - y + z + d = 0, onde d é uma constante que vai determinar a posição desse plano em relação a pi.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de d de forma que a distância entre o plano pi: x - y + z = 0 e o novo plano x - y + z + d = 0 seja exatamente 2 unidades. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos Ax + By + Cz + D1 = 0 e Ax + By + Cz + D2 = 0 é:
Distância = |D2 - D1|raizA^2 + B^2 + C^2 â
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
2 = |d - 0|raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = |d|raiz3

Passo 4

Resolvendo a equação acima para d:
|d| = 2 times raiz3 Rightarrow d = pm 2raiz3
Portanto, existem dois planos que estão a uma distância de 2 unidades do plano pi:
  1. x - y + z + 2raiz3 = 0
  2. x - y + z - 2raiz3 = 0

Passo 5

Agora, precisamos determinar qual desses dois planos está mais próximo do ponto (2, 1, 1). Para isso, vamos calcular a distância do ponto a cada um dos planos utilizando a fórmula da distância de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0:
Distância = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 â
Vamos calcular para cada plano:
Para o primeiro plano x - y + z + 2raiz3 = 0:
Distância1 = |1 times 2 + (-1) times 1 + 1 times 1 + 2raiz3|raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = |2 - 1 + 1 + 2raiz3|raiz3 = 2 + 2raiz3raiz3 â
Para o segundo plano x - y + z - 2raiz3 = 0:
Distância2 = |1 times 2 + (-1) times 1 + 1 times 1 - 2raiz3|raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = |2 - 1 + 1 - 2raiz3|raiz3 = 2 - 2raiz3raiz3 â

Passo 6

Agora, vamos comparar as duas distâncias:
  • Distância1 = 2 + 2raiz3raiz3 approx 2 + 3.4641.732 approx 5.4641.732 approx 3.155â
  • Distância2 = 2 - 2raiz3raiz3 approx 2 - 3.4641.732 approx -1.4641.732 approx -0.845â (considerando o valor absoluto, seria aproximadamente 0.845)
Como queremos a distância, consideramos apenas o valor positivo. Claramente, 0.845 < 3.155, então o segundo plano está mais próximo do ponto (2, 1, 1).

Resposta

O plano x - y + z - 2raiz3 = 0 é o que está mais próximo do ponto (2, 1, 1) dentre os planos que distam 2 unidades de pi: x - y + z = 0.

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