Dentre os planos que distam 2 de
, qual é o que está mais próximo de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o plano
e queremos encontrar, dentre todos os planos que estão a uma distância de 2 unidades desse plano
, aquele que está mais próximo do ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a distância entre planos paralelos e a distância de um ponto a um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois planos são paralelos se eles possuem os mesmos coeficientes angulares, ou seja, as mesmas direções normais. O plano
dado por
tem uma direção normal representada pelo vetor
. Portanto, qualquer plano paralelo a
terá a forma
, onde
é uma constante que vai determinar a posição desse plano em relação a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o valor de
de forma que a distância entre o plano
e o novo plano
seja exatamente 2 unidades. A fórmula para a distância entre dois planos paralelos
e
é:
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Passo 4
Resolvendo a equação acima para
:
Portanto, existem dois planos que estão a uma distância de 2 unidades do plano
:
Passo 5
Agora, precisamos determinar qual desses dois planos está mais próximo do ponto
. Para isso, vamos calcular a distância do ponto a cada um dos planos utilizando a fórmula da distância de um ponto
a um plano
:
Vamos calcular para cada plano:
Para o primeiro plano
:
Para o segundo plano
:
Passo 6
Agora, vamos comparar as duas distâncias:
-
-
(considerando o valor absoluto, seria aproximadamente )
Como queremos a distância, consideramos apenas o valor positivo. Claramente,
, então o segundo plano está mais próximo do ponto
.
Resposta
O plano
é o que está mais próximo do ponto
dentre os planos que distam 2 unidades de
.