Considere uma função positiva
de domínio
, cujo gráfico contém o ponto
. Além disso, conhece-se sua derivada
. Acerca da função
, determine:
os intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão;
os intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão;
Passo 1
A questão pede pra gente descobrir onde a função é côncava para cima, côncava para baixo e em quais pontos ocorre mudança de concavidade (pontos de inflexão). O conteúdo teórico envolvido é o estudo do sinal da segunda derivada: se
, a concavidade é para cima; se
, é para baixo; e ponto de inflexão é onde
muda de sinal.
Passo 2
Vamos calcular a segunda derivada de
a partir de
. Usamos a regra do quociente: se
e
, então
Passo 3
Substituindo:
$$f**(x)=\frac{(x+2)^2 - (x-2)\cdot2(x+2)}{(x+2)^4} = \frac{(x+2)[(x+2)-2(x-2)]}{(x+2)^4} = -\frac{(x-6)}{(x+2)^3} = \frac{6-x}{(x+2)^3}.
$$
Passo 4
Agora estudamos o sinal de
. Note que existem possíveis mudanças de sinal em
(denominador zero) e em
(numerador zero). Montamos o quadro:
• Para : numerador
, denominador
⇒
.
• Para : numerador
, denominador
⇒
.
• Para : numerador
, denominador
⇒
.
• Para
• Para
• Para
Passo 5
Conclusão: concavidade muda de negativa para positiva em
e de positiva para negativa em
, caracterizando pontos de inflexão.
Então os intervalos de concavidade e pontos de inflexão são os seguintes:
Então os intervalos de concavidade e pontos de inflexão são os seguintes:
Resposta
Concava para cima em (-2,6); concava para baixo em (-∞,-2) ∪ (6,∞); pontos de inflexão em x = -2 e x = 6.