Considere uma função positiva f de domínio R-2, cujo gráfico contém o ponto (pi,3). Além disso, conhece-se sua derivada f^prime(x)=x-2(x+2)^2. Acerca da função f, determine:
os intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão;

Passo 1

A questão pede pra gente descobrir onde a função é côncava para cima, côncava para baixo e em quais pontos ocorre mudança de concavidade (pontos de inflexão). O conteúdo teórico envolvido é o estudo do sinal da segunda derivada: se f''(x)>0, a concavidade é para cima; se f''(x)<0, é para baixo; e ponto de inflexão é onde f'' muda de sinal.

Passo 2

Vamos calcular a segunda derivada de f a partir de f'(x)=x-2(x+2)^2. Usamos a regra do quociente: se u=x-2 e v=(x+2)^2, então
f''(x)=u'v - uv'v^2com u'=1,;v'=2(x+2)

Passo 3

Substituindo:
$$f**(x)=\frac{(x+2)^2 - (x-2)\cdot2(x+2)}{(x+2)^4} = \frac{(x+2)[(x+2)-2(x-2)]}{(x+2)^4} = -\frac{(x-6)}{(x+2)^3} = \frac{6-x}{(x+2)^3}.
$$

Passo 4

Agora estudamos o sinal de f''(x)=6-x(x+2)^3. Note que existem possíveis mudanças de sinal em x=-2 (denominador zero) e em x=6 (numerador zero). Montamos o quadro:
• Para x<-2: numerador 6-x>0, denominador (x+2)^3<0 f''<0.
• Para -2: numerador 6-x>0, denominador (x+2)^3>0 f''>0.
• Para x>6: numerador 6-x<0, denominador (x+2)^3>0 f''<0.

Passo 5

Conclusão: concavidade muda de negativa para positiva em x=-2 e de positiva para negativa em x=6, caracterizando pontos de inflexão.
Então os intervalos de concavidade e pontos de inflexão são os seguintes:

Resposta

Concava para cima em (-2,6); concava para baixo em (-∞,-2) ∪ (6,∞); pontos de inflexão em x = -2 e x = 6.

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