TODAS AS OUGSTÓES DEVEM SER JUSTITICADAS.
Resolva as integrais:
Resolva as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral de arctg(4t) em relação a t. Isso faz parte do cálculo integral, mais especificamente usando uma técnica chamada integração por partes. A integração por partes é útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, a gente precisa escolher o que será $ u $ e o que será $ dv $. Uma boa escolha é deixar $ u = \arctan(4t) $ e $ dv = dt $. Isso porque derivar a arctangente vai simplificar a expressão.
Passo 3
Agora, vamos encontrar $ du $ e $ v $:
-
Derivando $ u $:
-
Integrando $ dv $:
Passo 4
Com esses valores, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda integral:
Aqui, usamos uma substituição para facilitar a integração. Seja $ u = 1 + 16t^2 $, então $ du = 32t , dt $ ou $ t , dt = \frac{du}{32} $.
Substituindo na integral:
Passo 6
Voltando à expressão original, substituímos a integral resolvida:
Resposta
A integral de arctg(4t) em relação a t é: