TODAS AS OUGSTÓES DEVEM SER JUSTITICADAS.
Resolva as integrais:
integral arctg(4 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral de arctg(4t) em relação a t. Isso faz parte do cálculo integral, mais especificamente usando uma técnica chamada integração por partes. A integração por partes é útil quando a integral é o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher o que será $ u $ e o que será $ dv $. Uma boa escolha é deixar $ u = \arctan(4t) $ e $ dv = dt $. Isso porque derivar a arctangente vai simplificar a expressão.

Passo 3

Agora, vamos encontrar $ du $ e $ v $:
  • Derivando $ u $:
    du
  • Integrando $ dv $:
    v

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral arctan(4t) , dt = u cdot v - integral v cdot du = t cdot arctan(4t) - integral t cdot 41 + 16t^2 , dt

Passo 5

Vamos simplificar a segunda integral:
integral t cdot 41 + 16t^2 , dt = 4 integral t1 + 16t^2 , dt
Aqui, usamos uma substituição para facilitar a integração. Seja $ u = 1 + 16t^2 $, então $ du = 32t , dt $ ou $ t , dt = \frac{du}{32} $.
Substituindo na integral:
u = 1 + 16t^2

Passo 6

Voltando à expressão original, substituímos a integral resolvida:
integral arctan(4t) , dt = t cdot arctan(4t) - 18 ln(1 + 16t^2) + C

Resposta

A integral de arctg(4t) em relação a t é:
t cdot arctan(4t) - dfrac18 ln(1 + 16t^2) + C

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