Dentre os pontos do plano de equação x+y+3 z=14, encontre o mais próximo da origem.

Passo 1

No enunciado, temos o plano x+y+3z=14 e queremos achar o ponto desse plano que fica mais pertinho da origem. Isso é um problema de otimização com restrição, que vamos resolver usando o método de Lagrange.

Passo 2

A gente define a função que mede a distância ao quadrado até a origem:
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
e a restrição do plano:
g(x,y,z) = x + y + 3z -14 = 0.
Pelo método de Lagrange, impomos nabla f = lambda nabla g.

Passo 3

Vamos calcular os gradientes e igualar:
nabla f = (2x,2y,2z),
nabla g = (1,1,3)
Então as equações ficam
2x = lambda, 2y = lambda, 2z = 3lambda

Passo 4

Dessas equações tiramos
x = lambda2, y = lambda2, z = 3lambda2
Substituindo na restrição
lambda2 + lambda2 + 3cdot 3lambda2 = 14
e resolvendo para lambda.

Passo 5

A conta dá
11lambda2 = 14 implies lambda = 2811
Logo as coordenadas do ponto são
l(tfrac1411,tfrac1411,tfrac4211r)
Esse é o ponto do plano mais próximo da origem.

Resposta

l(tfrac1411,tfrac1411,tfrac4211r)

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