Dentre os pontos do plano de equação
, encontre o mais próximo da origem.
Passo 1
No enunciado, temos o plano
e queremos achar o ponto desse plano que fica mais pertinho da origem. Isso é um problema de otimização com restrição, que vamos resolver usando o método de Lagrange.
Passo 2
A gente define a função que mede a distância ao quadrado até a origem:
e a restrição do plano:
Pelo método de Lagrange, impomos
.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes e igualar:
Então as equações ficam
Passo 4
Dessas equações tiramos
Substituindo na restrição
e resolvendo para
.
Passo 5
A conta dá
Logo as coordenadas do ponto são
Esse é o ponto do plano mais próximo da origem.