(3 Questão)
Calcule a integral de superfície , onde é a superfície com equação vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície , onde é uma superfície definida pela equação vetorial com e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície para superfícies parametrizadas. Precisaremos encontrar os vetores parciais da parametrização, calcular o elemento de área e depois integrar a função sobre a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes , e em termos de e a partir da equação vetorial dada:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os vetores parciais da parametrização em relação a e , ou seja, e :
Passo 4
O próximo passo é calcular o produto vetorial desses vetores parciais , que nos dará um vetor normal à superfície. Vamos calcular:
Resolvendo o determinante, temos:
ru times rv = 8uv i - (4v^2 - 4u^2) j - 4(u^2 + v^2) k
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor para obter o elemento de área dS: