(3 ^ a Questão)
Calcule a integral de superfície S, onde é a superfície com equação vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de superfície integral duplaS(x^2+y^2) d S, onde S é uma superfície definida pela equação vetorial r(u, v)=2 u v i+(u^2-v^2) j+(u^2+v^2) k com 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície para superfícies parametrizadas. Precisaremos encontrar os vetores parciais da parametrização, calcular o elemento de área dS e depois integrar a função x^2+y^2 sobre a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes x, y e z em termos de u e v a partir da equação vetorial dada:
x = 2uv, y = u^2 - v^2, z = u^2 + v^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os vetores parciais da parametrização em relação a u e v, ou seja, ru e rv:
ru = partial rpartial u = 2v i + 2u j + 2u k
rv = partial rpartial v = 2u i - 2v j + 2v k

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto vetorial desses vetores parciais ru times rv, que nos dará um vetor normal à superfície. Vamos calcular:
ru times rv = i & j & k 2v & 2u & 2u 2u & -2v & 2v
Resolvendo o determinante, temos:
ru times rv = 8uv i - (4v^2 - 4u^2) j - 4(u^2 + v^2) k

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor para obter o elemento de área dS:
|ru times rv| = raiz(8uv)^2 + (-4v^2 + 4u^2)^2 + (-4(u^2 + v^2))^2
Simplificando os quadrados:
|ru times rv| = raiz64u^2v^2 + 16u^4 - 32u^2v^2 + 16v^4 + 16u^4 + 32u^2v^2 + 16v^4 = raiz32(u^2 + v^2)^2 = 4raiz2(u^2 + v^2)
Portanto, o elemento de área é:
dS = 4raiz2(u^2 + v^2) , du , dv

Passo 6

Vamos agora expressar a função que queremos integrar x^2 + y^2 em termos de u e v:
x^2 + y^2 = (2uv)^2 + (u^2 - v^2)^2 = 4u^2v^2 + u^4 - 2u^2v^2 + v^4 = u^4 + 2u^2v^2 + v^4

Passo 7

Agora, montamos a integral de superfície substituindo tudo que encontramos:
integral duplaS(x^2 + y^2) , dS = integral dupla0^1 integral dupla0^1 (u^4 + 2u^2v^2 + v^4) cdot 4raiz2(u^2 + v^2) , du , dv
Multiplicando os termos:
(u^4 + 2u^2v^2 + v^4)(u^2 + v^2) = u^6 + 3u^4v^2 + 3u^2v^4 + v^6
Portanto, a integral fica:
4raiz2 integral dupla0^1 integral dupla0^1 (u^6 + 3u^4v^2 + 3u^2v^4 + v^6) , du , dv

Passo 8

Como a função é simétrica em relação a u e v, podemos calcular as integrais separadamente:
integral0^1 u^6 , du = 17, integral0^1 v^6 , dv = 17
integral0^1 u^4 , du = 15, integral0^1 v^2 , dv = 13, integral0^1 u^2 , du = 13, integral0^1 v^4 , dv = 15
Assim, temos:
integral dupla (u^6 + 3u^4v^2 + 3u^2v^4 + v^6) , du , dv = 27 + 3(115 + 115) = 27 + 25

Passo 9

Finalmente, somamos as frações e multiplicamos pelo fator constante:
27 + 25 = 1035 + 1435 = 2435
Integral Total = 4raiz2 cdot 2435 = 96raiz235

Resposta

A integral de superfície vale dfrac96,raiz235.

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