Dentre as retas abaixo, encontre quais são paralelas entre si.
a. L_{1}: x+3 y-5=0
b. L_{2}: 4 x+14 y-2=0
c. L_{3}:-2 x+6 y+7=0
d. L_{4}: x+3 y=6
e. L_{5}:(x, y)=(1,1)+t(-6,2), t \in \mathbb{R}
f. L_{6}:(x, y)=(2,3)+t(1,3), t \in \mathbb{R}
g. L_{7}:(x, y)=(-3,1)+t(7,-2), t \in \mathbb{R}
h. L_{8}:(x, y)=(0,-3)+t(3,-1), t \in \mathbb{R}

Passo 1

Temos oito retas dadas, algumas na forma geral ax+by+c=0 e outras na forma paramétrica (x,y)=(x_0,y_0)+t(d_x,d_y). O conteúdo aqui é paralelismo de retas em \mathbb{R}^2, que ocorre quando elas têm o mesmo coeficiente angular (ou vetores diretores proporcionais). Vamos extrair esses coeficientes angulares (slopes) para cada reta.

Passo 2

Para retas na forma geral ax+by+c=0, o coeficiente angular é
m = -\frac{a}{b}.
Aplicando a cada reta:
m_1 = -\frac{1}{3}, \quad m_2 = -\frac{4}{14} = -\frac{2}{7}, \quad m_3 = -\frac{-2}{6} = \frac{1}{3}, \quad m_4 = -\frac{1}{3}.

Passo 3

Para retas na forma paramétrica (x,y)=(x_0,y_0)+t(d_x,d_y), o coeficiente angular é
m = \frac{d_y}{d_x}.
Aplicando a cada uma:
m_5 = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}, \quad m_6 = \frac{3}{1} = 3, \quad m_7 = \frac{-2}{7} = -\frac{2}{7}, \quad m_8 = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora agrupamos as retas que têm o mesmo valor de m:
As retas com
m = -\tfrac{1}{3}
são L_1, L_4, L_5 e L_8.
As retas com
m = -\tfrac{2}{7}
são L_2 e L_7.
As retas L_3 (com m=\tfrac{1}{3}) e L_6 (com m=3) não têm nenhuma outra paralela no conjunto.

Resposta

As retas paralelas entre si são: L_{1}, L_{4}, L_{5} e L_{8} formam um mesmo grupo paralelo; L_{2} e L_{7} formam outro grupo paralelo.
As retas L_{3} e L_{6} não têm paralelas no conjunto.

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