Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que é pedido: verificar se essa função é linear (ou seja, se
satisfaz as propriedades que definem linearidade).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O domínio é
. - O contradomínio é
. - A fórmula explícita é
, isto é, devolve a primeira coordenada do par .
Passo 2
Definição (explicada devagarinho): uma aplicação
entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem duas propriedades:
- Aditividade (ou preserva soma):
. - Homogeneidade (ou preserva multiplicação por escalar):
.
Intuição: linearidade significa que
“respeita” soma e escala — é compatível com combinação linear. Na prova, normalmente você verifica essas duas propriedades diretamente.
Passo 3
Plano de verificação: vou testar as duas propriedades da definição usando vetores genéricos
,
em
e um escalar
. Também vou comentar rapidamente uma consequência útil (imagem do vetor zero).
Passo 4
Verificação da aditividade. Pegue vetores genéricos
e
em
. A soma desses vetores é
Aplicando
à soma, usando a fórmula dada
, obtemos
Agora calcule as imagens separadas e some:
portanto
Comparando as duas expressões vemos que
ou seja, a propriedade de aditividade vale.
Passo 5
Verificação da homogeneidade. Seja
e um vetor genérico
. A multiplicação por escalar dá
Aplicando
ao vetor escalado:
Por outro lado, calcule
:
Portanto
ou seja, a homogeneidade também vale.
Passo 6
Consequência útil (checagem rápida extra): toda aplicação linear envia o vetor zero do domínio para o zero do contradomínio. Verificando aqui:
pois
é a primeira coordenada de
, que é
. Isso é coerente com linearidade (mais uma confirmação).
Passo 7
Interpretação geométrica e forma matricial (aula rápida e prática):
é a projeção do plano
sobre a primeira coordenada. Em forma matricial, se representarmos vetores coluna
, então
Matrizes de uma linha como
representam aplicações lineares
, o que é mais um jeitinho de ver que
é linear.