Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} definida por
\mathrm{T}(x,y)=x.
O que é pedido: verificar se essa função é linear (ou seja, se \mathrm{T} satisfaz as propriedades que definem linearidade).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O domínio é \mathbb{R}^{2}.
  • O contradomínio é \mathbb{R}.
  • A fórmula explícita é \mathrm{T}(x,y)=x, isto é, \mathrm{T} devolve a primeira coordenada do par (x,y).

Passo 2

Definição (explicada devagarinho): uma aplicação \mathrm{T}: V \to W entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v \in V e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem duas propriedades:
  1. Aditividade (ou preserva soma): \mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v).
  2. Homogeneidade (ou preserva multiplicação por escalar): \mathrm{T}(c\,u)=c\,\mathrm{T}(u).
Intuição: linearidade significa que \mathrm{T} “respeita” soma e escala — é compatível com combinação linear. Na prova, normalmente você verifica essas duas propriedades diretamente.

Passo 3

Plano de verificação: vou testar as duas propriedades da definição usando vetores genéricos (x_1,y_1), (x_2,y_2) em \mathbb{R}^2 e um escalar c\in\mathbb{R}. Também vou comentar rapidamente uma consequência útil (imagem do vetor zero).

Passo 4

Verificação da aditividade. Pegue vetores genéricos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) em \mathbb{R}^2. A soma desses vetores é
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando \mathrm{T} à soma, usando a fórmula dada \mathrm{T}(x,y)=x, obtemos
\mathrm{T}\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=\mathrm{T}(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=x_1+x_2.
Agora calcule as imagens separadas e some:
\mathrm{T}(x_1,y_1)=x_1,\qquad \mathrm{T}(x_2,y_2)=x_2,
portanto
\mathrm{T}(x_1,y_1)+\mathrm{T}(x_2,y_2)=x_1+x_2.
Comparando as duas expressões vemos que
\mathrm{T}\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=\mathrm{T}(x_1,y_1)+\mathrm{T}(x_2,y_2),
ou seja, a propriedade de aditividade vale.

Passo 5

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e um vetor genérico (x,y)\in\mathbb{R}^2. A multiplicação por escalar dá
c\,(x,y)=(c x,\;c y).
Aplicando \mathrm{T} ao vetor escalado:
\mathrm{T}\big(c\,(x,y)\big)=\mathrm{T}(c x,\;c y)=c x.
Por outro lado, calcule c\,\mathrm{T}(x,y):
c\,\mathrm{T}(x,y)=c\cdot x = c x.
Portanto
\mathrm{T}\big(c\,(x,y)\big)=c\,\mathrm{T}(x,y),
ou seja, a homogeneidade também vale.

Passo 6

Consequência útil (checagem rápida extra): toda aplicação linear envia o vetor zero do domínio para o zero do contradomínio. Verificando aqui:
\mathrm{T}(0,0)=0,
pois \mathrm{T}(0,0) é a primeira coordenada de (0,0), que é 0. Isso é coerente com linearidade (mais uma confirmação).

Passo 7

Interpretação geométrica e forma matricial (aula rápida e prática): \mathrm{T}(x,y)=x é a projeção do plano \mathbb{R}^2 sobre a primeira coordenada. Em forma matricial, se representarmos vetores coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, então
\mathrm{T}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=x.
Matrizes de uma linha como \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} representam aplicações lineares \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, o que é mais um jeitinho de ver que \mathrm{T} é linear.

Resposta

\mathrm{T} é linear.

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