Dentre os subconjuntos a seguir o único que não representa um subespaço vetorial de
é dado por:
а)
;
b) retas que passam pela origem de
;
c) planos que passam pela origem de
;
d) octantes de
;
e)
.
а)
b) retas que passam pela origem de
c) planos que passam pela origem de
d) octantes de
e)
Passo 1
O enunciado pergunta qual dos conjuntos abaixo não é subespaço vetorial de
. Para ser subespaço, um subconjunto
deve satisfazer três condições:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Analisando a alternativa (a):
contém o vetor zero; qualquer soma de vetores desse conjunto é
e qualquer múltiplo escalar de
também é
. Logo, satisfaz as três condições e é subespaço.
Passo 3
Analisando a alternativa (b):
Uma reta que passa pela origem é da forma . Ela contém
, é fechada sob soma de dois múltiplos de
e sob multiplicação escalar. Portanto, é subespaço.
Uma reta que passa pela origem é da forma
Passo 4
Analisando a alternativa (c):
Um plano que passa pela origem pode ser descrito por com
independentes. Também contém
e é fechado em soma e escalar, logo é subespaço.
Um plano que passa pela origem pode ser descrito por
Passo 5
Analisando a alternativa (d):
Um octante de é algo como
. Embora contenha
, se
está no octante e
, então
tem coordenadas não-positivas e sai do octante. Falha a condição de fechamento sob multiplicação escalar, logo não é subespaço.
Um octante de
Passo 6
Analisando a alternativa (e):
é o próprio espaço, contém
e é obviamente fechado em soma e escalar. É subespaço de si mesmo.
Resposta
(d)