Dentre os subconjuntos a seguir o único que não representa um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} é dado por:
а) \{(0,0,0)\};
b) retas que passam pela origem de \mathbb{R}^{3};
c) planos que passam pela origem de \mathbb{R}^{3};
d) octantes de \mathbb{R}^{3};
e) \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pergunta qual dos conjuntos abaixo não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para ser subespaço, um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 deve satisfazer três condições:
  1. \mathbf{0}\in W.
  2. Se \mathbf{u},\mathbf{v}\in W então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. Se \mathbf{u}\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda\mathbf{u}\in W.

Passo 2

Analisando a alternativa (a): \{(0,0,0)\} contém o vetor zero; qualquer soma de vetores desse conjunto é (0,0,0) e qualquer múltiplo escalar de (0,0,0) também é (0,0,0). Logo, satisfaz as três condições e é subespaço.

Passo 3

Analisando a alternativa (b):
Uma reta que passa pela origem é da forma \{t\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\}. Ela contém \mathbf{0}, é fechada sob soma de dois múltiplos de \mathbf{v} e sob multiplicação escalar. Portanto, é subespaço.

Passo 4

Analisando a alternativa (c):
Um plano que passa pela origem pode ser descrito por \{s\mathbf{u}+t\mathbf{v}\mid s,t\in\mathbb{R}\} com \mathbf{u},\mathbf{v} independentes. Também contém \mathbf{0} e é fechado em soma e escalar, logo é subespaço.

Passo 5

Analisando a alternativa (d):
Um octante de \mathbb{R}^3 é algo como \{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0\}. Embora contenha \mathbf{0}, se (x,y,z) está no octante e \lambda<0, então \lambda(x,y,z) tem coordenadas não-positivas e sai do octante. Falha a condição de fechamento sob multiplicação escalar, logo não é subespaço.

Passo 6

Analisando a alternativa (e): \mathbb{R}^3 é o próprio espaço, contém \mathbf{0} e é obviamente fechado em soma e escalar. É subespaço de si mesmo.

Resposta

(d)

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