Sejam V um espaço vetorial real e W um subespaço de V. Assinale a única sentença FALSA:
a) 0_{V} \circ vetor nulo do espaço V pertence a W;
b) W \cap W=W;
c) w_{1} \in W, w_{2} \in W \Rightarrow w_{1}+w_{2} \in W;
d) W \oplus W=W;
e) \lambda \in \mathbb{R}, w \in W \Rightarrow \lambda \cdot w \in W.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial real V e um subespaço W\subseteq V. Pede para identificar a única sentença FALSA entre as propriedades usuais de subespaço e da soma direta.

Passo 2

Como W é subespaço de V, sabemos que valem as seguintes propriedades básicas:
  1. 0_V\in W (contém o vetor nulo).
  2. Se w_1,w_2\in W, então w_1+w_2\in W.
  3. Se \lambda\in\mathbb{R} e w\in W, então \lambda w\in W.
  4. Além disso, W\cap W=W, pois intersectar um conjunto consigo mesmo retorna o próprio conjunto.

Passo 3

Verificando cada alternativa:
a) “ 0_V pertence a W”: é verdadeiro por definição de subespaço.
b) “ W\cap W=W”: é verdadeiro para qualquer conjunto.
c) “ w_1,w_2\in W\Rightarrow w_1+w_2\in W”: é verdadeiro pelo fechamento à soma.
e) “ \lambda\in\mathbb{R},w\in W\Rightarrow\lambda w\in W”: é verdadeiro pelo fechamento à multiplicação escalar.

Passo 4

A soma direta W\oplus W está definida como o subespaço gerado por pares (w_1,w_2) com w_1,w_2\in W e exige W\cap W=\{0\}. Mas aqui W\cap W=W, que só seria \{0\} se W=\{0\}. Em geral, para subespaço não trivial, W\oplus W\neq W. Logo, a sentença
d) “ W\oplus W=W
é falsa em geral.

Resposta

d)

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