Sejam
um espaço vetorial real e
um subespaço de
. Assinale a única sentença FALSA:
a)
vetor nulo do espaço
pertence a
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial real
e um subespaço
. Pede para identificar a única sentença FALSA entre as propriedades usuais de subespaço e da soma direta.
Passo 2
Como
é subespaço de
, sabemos que valem as seguintes propriedades básicas:
-
(contém o vetor nulo). - Se
, então . - Se
e , então . - Além disso,
, pois intersectar um conjunto consigo mesmo retorna o próprio conjunto.
Passo 3
Verificando cada alternativa:
a) “ pertence a
”: é verdadeiro por definição de subespaço.
b) “ ”: é verdadeiro para qualquer conjunto.
c) “ ”: é verdadeiro pelo fechamento à soma.
e) “ ”: é verdadeiro pelo fechamento à multiplicação escalar.
a) “
b) “
c) “
e) “
Passo 4
A soma direta
está definida como o subespaço gerado por pares
com
e exige
. Mas aqui
, que só seria
se
. Em geral, para subespaço não trivial,
. Logo, a sentença
d) “ ”
é falsa em geral.
d) “
é falsa em geral.
Resposta
d)