Todos os valores de a para os quais \left\{\left(a^{2}, 0,1\right),(0, a, 2),(1,0,1)\right\} é uma base para \mathbb{R}^{3} são:
a) todos os números reais;
b) -1,0 e 1 ;
c) todos os números reais exceto -1 e 1 ;
d) todos os números reais exceto -1,0 e 1 ;
e) apenas -1 e 1 .

Passo 1

O enunciado pede todos os valores de a tais que os vetores \,(a^{2},0,1), (0,a,2) e (1,0,1)
formam uma base de \mathbb{R}^{3}.
Para que três vetores em \mathbb{R}^{3} sejam base, eles precisam ser linearmente independentes, ou seja, o determinante da matriz formada por eles não pode ser zero.

Passo 2

Vamos montar a matriz cujas linhas são esses vetores e calcular o determinante.
M = \begin{pmatrix} a^{2} & 0 & 1 \\[6pt] 0 & a & 2 \\[6pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

Passo 3

Calculamos
\det(M) = a^{2}\det\begin{pmatrix}a & 2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} -0\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} +1\cdot(-1)^{1+3}\det\begin{pmatrix}0 & a\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Isso dá
\det(M) = a^{2}\,(a\cdot1 - 2\cdot0)\;+\;1\cdot\bigl(0\cdot0 - a\cdot1\bigr) = a^{3} \;-\; a = a\,(a^{2}-1).]

Passo 4

Para os vetores serem base, precisamos de \det(M)\neq0, ou seja,
a\,(a^{2}-1)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad a\neq0,\quad a^{2}\neq1 \quad\Longrightarrow\quad a\neq -1,\,0,\,1.

Resposta

Todos os números reais exceto -1, 0 e 1.

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