Sejam \alpha=\left\{1, t, t^{2}\right\} e \bar{\alpha}=\left\{1,2 t, \frac{t^{2}}{2}\right\} bases de P_{2}. Então:
a) [I]_{\alpha}^{\bar{\alpha}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 / 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right];
b) [I]_{\alpha}^{\bar{\alpha}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 / 2\end{array}\right];
c) [I]_{\alpha}^{\bar{\alpha}}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right];
d) [I]_{\alpha}^{\bar{\alpha}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 / 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 / 2\end{array}\right];
e) [I]_{\alpha}^{\bar{\alpha}}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá as bases \alpha=\{1,t,t^2\} e \bar\alpha=\{1,2t,\tfrac{t^2}{2}\} de P_2 e pede a matriz de identidade [I]_{\alpha}^{\bar\alpha}. O conteúdo envolve mudança de base: cada coluna dessa matriz são as coordenadas de um vetor de \alpha expresso na base \bar\alpha.

Passo 2

Pela definição, para cada vetor v_j de \alpha a j-ésima coluna de [I]_{\alpha}^{\bar\alpha} é o vetor coluna cujas entradas são os coeficientes (c_1,c_2,c_3) tais que
v_j = c_1\cdot1 + c_2\cdot(2t) + c_3\cdot\bigl(\tfrac{t^2}{2}\bigr)
na base \bar\alpha.

Passo 3

Para v_1=1 escrevemos
1 = c_1\cdot1 + c_2\cdot(2t) + c_3\cdot\bigl(\tfrac{t^2}{2}\bigr).
Comparando coeficientes em 1, t e t^2 obtemos c_1=1, c_2=0, c_3=0. Logo a coluna 1 é \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Para v_2=t escrevemos
t = c_1\cdot1 + c_2\cdot(2t) + c_3\cdot\bigl(\tfrac{t^2}{2}\bigr).
Só há termo em t, logo 2c_2=1 implica c_2=\tfrac12 e c_1=c_3=0. A coluna 2 é \begin{pmatrix}0\\tfrac12\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Para v_3=t^2 escrevemos
t^2 = c_1\cdot1 + c_2\cdot(2t) + c_3\cdot\bigl(\tfrac{t^2}{2}\bigr).
Só há termo em t^2, portanto \tfrac{c_3}{2}=1 c_3=2 e c_1=c_2=0. A coluna 3 é \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 6

Montando todas as colunas,
[I]_{\alpha}^{\bar\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & \tfrac12 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
que corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

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