Dentre todos os planos passando por
, com equação
;
,
e
, determine aquele que forma com os eixos coordenados no 1-octante uma pirâmide de volume mínimo;
Passo 1
O enunciado pede o plano intercepto x/a + y/b + z/c = 1 que passa por (2,1,2), com a>0, b>0, c>0, de modo que a pirâmide formada no 1-octante tenha volume mínimo. Vamos precisar da condição de que (2,1,2) pertence ao plano e da fórmula do volume de uma pirâmide cujos vértices são as interseções com os eixos.
Passo 2
Substituindo (2,1,2) na equação x/a + y/b + z/c = 1, obtemos a restrição entre a, b e c:
Passo 3
A pirâmide cujos interceptos são (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c) tem volume
Passo 4
Minimizar V é o mesmo que minimizar f(a,b,c)=abc sujeito à restrição g(a,b,c)=2/a+1/b+2/c-1=0. Usamos multiplicadores de Lagrange:
Passo 5
Isso gera o sistema:
$$\begin{cases}bc=-\lambda,\frac{2}{a2},\[6pt]ac=-\lambda,\frac{1}{b2},\[6pt]ab=-\lambda,\frac{2}{c^2}.
\end{cases}$$
Passo 6
Dividindo as duas primeiras equações:
Passo 7
Dividindo a segunda pela terceira:
Passo 8
Substituindo a=2b e c=2b na restrição 2/a+1/b+2/c=1:
Resposta
O plano buscado é
e o volume mínimo da pirâmide no 1-octante é 18.