Dentre todos os planos passando por (2,1,2), com equação xa+yb+zc=1; a>0, b>0 e c>0, determine aquele que forma com os eixos coordenados no 1-octante uma pirâmide de volume mínimo;

Passo 1

O enunciado pede o plano intercepto x/a + y/b + z/c = 1 que passa por (2,1,2), com a>0, b>0, c>0, de modo que a pirâmide formada no 1-octante tenha volume mínimo. Vamos precisar da condição de que (2,1,2) pertence ao plano e da fórmula do volume de uma pirâmide cujos vértices são as interseções com os eixos.

Passo 2

Substituindo (2,1,2) na equação x/a + y/b + z/c = 1, obtemos a restrição entre a, b e c:
2a+1b+2c=1

Passo 3

A pirâmide cujos interceptos são (a,0,0), (0,b,0) e (0,0,c) tem volume
V=16abc

Passo 4

Minimizar V é o mesmo que minimizar f(a,b,c)=abc sujeito à restrição g(a,b,c)=2/a+1/b+2/c-1=0. Usamos multiplicadores de Lagrange:
nabla f=lambda,nabla g

Passo 5

Isso gera o sistema:
$$\begin{cases}bc=-\lambda,\frac{2}{a2},\[6pt]ac=-\lambda,\frac{1}{b2},\[6pt]ab=-\lambda,\frac{2}{c^2}.
\end{cases}$$

Passo 6

Dividindo as duas primeiras equações:
bcac=ba=2b^2/a^21b^2/b^2=2b^2a^2 Longrightarrow a=2b

Passo 7

Dividindo a segunda pela terceira:
acab=cb=1/b^22/c^2=c^22b^2 Longrightarrow c=2b

Passo 8

Substituindo a=2b e c=2b na restrição 2/a+1/b+2/c=1:
22b+1b+22b=1b+1b+1b=3b=1 Longrightarrow b=3, a=6, c=6

Resposta

O plano buscado é
x6+y3+z6=1
e o volume mínimo da pirâmide no 1-octante é 18.

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