Uma cidade apresentou um crescimento populacional de 10 % a.a. Ao final do ano de 2005 sua população era de 16.000 habitantes. Assumindo que essa taxa de crescimento permanece nos próximos anos, quantos anos levará para que a população da cidade triplique de tamanho? R.: n=12 (Newmann;Eschenbach; Lavelle, 2012).

Passo 1

O enunciado diz que a cidade cresce de forma exponencial a uma taxa de 10% ao ano e tinha 16 000 habitantes em 2005. Queremos saber quantos anos (
)n levarão para que a população triplique. Vamos usar o modelo de crescimento exponencial e logaritmos para resolver.

Passo 2

A fórmula geral do crescimento exponencial é
P(n) = P0 (1 + r)^n
Para triplicar a população, temos
P(n) = 3 P0 implies (1 + r)^n = 3
Aqui, r = 0,10, portanto
(1,10)^n = 3

Passo 3

Para isolar n, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
n ln(1,10) = ln(3)
Logo,
n = ln(3)ln(1,10)

Passo 4

Calculando numericamente: sabemos que ln(3) approx 1,098612 e ln(1,10) approx 0,095310. Assim,
n approx 1,0986120,095310 approx 11,53

Passo 5

Como não usamos frações de ano e queremos que a população tenha triplicado, arredondamos para cima, obtendo 12 anos.

Resposta

12 anos

Exercícios relacionados