Dentre todos os números
e
tais que
, determine aqueles cujo produto é máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os números $ x $ e $ y $ que satisfazem a equação $ 2x + y = 80 $ e que fazem o produto $ x \times y $ ser o maior possível. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e conceitos de maximização de funções. Precisamos entender como manipular a equação dada para expressar o produto $ x \times y $ em termos de uma única variável e, assim, encontrar o valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação $ 2x + y = 80 $ para uma das variáveis, digamos $ y $. Assim:
Isso nos permite expressar $ y $ em termos de $ x $, o que é útil para substituir na função do produto.
Passo 3
Agora, queremos maximizar o produto $ P = x \times y $. Substituindo $ y $ na expressão do produto, temos:
Então, nossa função de produto em termos de $ x $ é $ P(x) = 80x - 2x^2 $.
Passo 4
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza $ P(x) $, podemos usar o cálculo de derivadas ou reconhecer que essa é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo), e o vértice da parábola dará o ponto máximo.
A fórmula para encontrar o x do vértice de uma parábola $ ax^2 + bx + c $ é:
No nosso caso, $ a = -2 $ e $ b = 80 $. Então:
Passo 5
Agora que temos $ x = 20 $, podemos encontrar $ y $ substituindo esse valor na equação que encontramos no Passo 2:
Resposta
Os números que satisfazem $ 2x + y = 80 $ e que tornam o produto $ x \times y $ máximo são $ x = 20 $ e $ y = 40 $.