Determine m para que se tenha para todo x in R :
x^2+(2 m-1) x+(m^2-2)>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma inequação quadrática: x^2 + (2m - 1)x + (m^2 - 2) > 0. Nosso objetivo é encontrar os valores de m que fazem essa expressão ser sempre maior que zero para todo x in R. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre inequações quadráticas e como o discriminante funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa expressão quadrática. Ela está na forma geral ax^2 + bx + c, onde:
  • a = 1 (coeficiente de x^2)
  • b = 2m - 1 (coeficiente de x)
  • c = m^2 - 2 (termo constante)

Passo 3

O próximo passo é analisar o sinal da expressão quadrática para todo x. Sabemos que uma parábola representada por ax^2 + bx + c abre para cima se a > 0 e para baixo se a < 0. No nosso caso, a = 1, que é positivo, então a parábola abre para cima.

Passo 4

Para que a expressão quadrática seja sempre positiva para todo x, ela não pode ter raízes reais, ou seja, a parábola nunca toca o eixo x. Isso acontece quando o discriminante D da equação quadrática é menor que zero.

Passo 5

Vamos calcular o discriminante D usando a fórmula:
D = b^2 - 4ac
Substituindo os valores:
D = (2m - 1)^2 - 4 cdot 1 cdot (m^2 - 2)

Passo 6

Vamos simplificar a expressão do discriminante:
D = (4m^2 - 4m + 1) - 4m^2 + 8 = -4m + 9
Para que a inequação seja positiva para todo x, precisamos que D < 0:
-4m + 9 < 0
Resolvendo para m:
-4m < -9 m > 94

Resposta

Portanto, para que a inequação x^2 + (2m - 1)x + (m^2 - 2) > 0 seja verdadeira para todo x in R, o valor de m deve ser maior que 94.

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