Determine
para que se tenha para todo
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma inequação quadrática:
. Nosso objetivo é encontrar os valores de
que fazem essa expressão ser sempre maior que zero para todo
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre inequações quadráticas e como o discriminante funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa expressão quadrática. Ela está na forma geral
, onde:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Passo 3
O próximo passo é analisar o sinal da expressão quadrática para todo
. Sabemos que uma parábola representada por
abre para cima se
e para baixo se
. No nosso caso,
, que é positivo, então a parábola abre para cima.
Passo 4
Para que a expressão quadrática seja sempre positiva para todo
, ela não pode ter raízes reais, ou seja, a parábola nunca toca o eixo
. Isso acontece quando o discriminante
da equação quadrática é menor que zero.
Passo 5
Vamos calcular o discriminante
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão do discriminante:
Para que a inequação seja positiva para todo
, precisamos que
:
Resolvendo para
:
Resposta
Portanto, para que a inequação
seja verdadeira para todo
, o valor de
deve ser maior que
.