Dentre todos os paralelepipedos com volume
dado, encontre aquele cuja área total seja mínima.
Passo 1
O enunciado pede o paralelepípedo de volume dado
que minimize a sua área total. O conteúdo aqui é otimização com restrição: vamos representar as arestas por
, escrever a área total em função de
e impor a restrição
. Em seguida usamos o método de multiplicadores de Lagrange para encontrar o ponto ótimo.
Passo 2
Sejam
,
e
as arestas do paralelepípedo. A área total é
e a restrição de volume é
Passo 3
Construímos a função de Lagrange
As condições de ótimo interior exigem
Passo 4
Das três primeiras equações temos
Igualando primeiro e segundo termos:
Analogamente obtém-se
. Logo
Passo 5
Substituindo na restrição de volume
dá
Portanto o paralelepípedo ótimo é o cubo de aresta
. A área mínima é
Resposta
O paralelepípedo de área total mínima, para volume
fixo, é o cubo de aresta
(com área
).