Dentre todos os paralelepipedos com volume V dado, encontre aquele cuja área total seja mínima.

Passo 1

O enunciado pede o paralelepípedo de volume dado V>0 que minimize a sua área total. O conteúdo aqui é otimização com restrição: vamos representar as arestas por (x,y,z), escrever a área total em função de x,y,z e impor a restrição xyz=V. Em seguida usamos o método de multiplicadores de Lagrange para encontrar o ponto ótimo.

Passo 2

Sejam x>0, y>0 e z>0 as arestas do paralelepípedo. A área total é
A(x,y,z) = 2l(xy + yz + zxr)
e a restrição de volume é
g(x,y,z) = xyz - V = 0

Passo 3

Construímos a função de Lagrange
L(x,y,z,lambda) = 2(xy+yz+zx) ;-;lambdal(xyz - Vr)
As condições de ótimo interior exigem
partialLpartial x = 2(y+z) - lambda,yz = 0,
partialLpartial y = 2(x+z) - lambda,xz = 0,
partialLpartial z = 2(x+y) - lambda,xy = 0,
partialLpartial lambda = -(xyz - V) = 0

Passo 4

Das três primeiras equações temos
lambda = 2(y+z)yz = 2(x+z)xz = 2(x+y)xy
Igualando primeiro e segundo termos:
y+zyz = x+zxz ;Longrightarrow; x(y+z) = y(x+z) ;Longrightarrow; xy + xz = xy + yz ;Longrightarrow; xz = yz ;Longrightarrow; x = y
Analogamente obtém-se y=z. Logo
x = y = z

Passo 5

Substituindo na restrição de volume xyz=V
x^3 = V Longrightarrow x = V^1/3
Portanto o paralelepípedo ótimo é o cubo de aresta ,V^1/3. A área mínima é
Amin = 2l(3x^2r) = 6x^2 = 6V^2/3

Resposta

O paralelepípedo de área total mínima, para volume V fixo, é o cubo de aresta V^1/3 (com área 6V^2/3).

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