Resolva o problema de valor inicial em cada caso.
2 d ud t+6 t^2 u-e^-t^3 sen(pi-2 t)=0, u(0)=5

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
2dudt + 6t^2 u - e^-t^3sin(pi - 2t) = 0, u(0) = 5
Este é um problema de EDO linear de primeira ordem. Vamos colocá-lo na forma padrão
dudt + 3t^2,u = 12e^-t^3sin(pi - 2t)
e resolver usando fator integrante.

Passo 2

O fator integrante é
mu(t) = expl(integral 3t^2,dtr) = e^t^3
Multiplicando a equação padrão por mu(t) obtemos
ddtl(u,e^t^3r) = 12sin(pi - 2t)

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
u,e^t^3 = 12integral sin(pi - 2t),dt + C
Como ddt[cos(pi - 2t)] = 2sin(pi - 2t), segue
integral sin(pi - 2t),dt = tfrac12cos(pi - 2t),
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u,e^t^3 = 14cos(pi - 2t) + C

Passo 4

Para determinar C, usamos u(0)=5:
5 = u(0)e^0 = 14cos(pi) + C = -14 + C,
então
C = 5 + 14 = 214

Passo 5

Substituindo C em u,e^t^3 = 14cos(pi - 2t) + 214 e isolando u,
u(t) = e^-t^3l(14cos(pi - 2t) + 214r)
Como cos(pi -2t) = -cos(2t), fica mais elegante escrever
u(t) = e^-t^34,l(21 - cos(2t)r)

Resposta

u(t) = e^-t^34,l(21 - cos(2t)r)

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