Considere
.
a. Mostre que a função
não é derivável em
.
b. Determine uma curva
, derivável e cuja imagem seja igual ao gráfico de
.
c. Interprete geometricamente o fato de
não ser derivável em
, mas a curva
ser derivável em
, onde
.
a. Mostre que a função
b. Determine uma curva
c. Interprete geometricamente o fato de
Passo 1
O enunciado define
e pede:
a) mostrar que não é derivável em
;
b) encontrar uma curva , derivável, cuja imagem seja o gráfico de
;
c) interpretar geometricamente por que falha em ser derivável em
, mas
é derivável no parâmetro
tal que
.
a) mostrar que
b) encontrar uma curva
c) interpretar geometricamente por que
Passo 2
Para testar a derivabilidade de
em
, usamos a definição
Quando
,
; quando
,
(pois o cubo de um número negativo é negativo, mas na potência
volta a dar um valor negativo elevado a
, que também tende a
em módulo), de modo que não há um limite finito. Logo,
não existe e
não é derivável em
.
Passo 3
Queremos uma parametrização
cujo conjunto de pontos seja
Escolhemos
Então
e
. Como
, temos
logo a imagem de
é exatamente o gráfico de
. Além disso,
e
são polinômios, portanto
é derivável em todo
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
componente a componente:
Em particular, em
temos
o que mostra que
é derivável em
.
Passo 5
Geometricamente, o gráfico de
tem um “bico” ou cusp em
: a inclinação da reta tangente tende ao infinito, não definindo uma reta tangente de inclinação finita, por isso
não é derivável em
. Já a curva
é uma parametrização suave (polinomial) desse mesmo gráfico; ela atravessa o cusp com velocidade zero (
), mas ainda assim a família de vetores
está bem definida para todo
, garantindo que
seja derivável em
.
Resposta
a)
não é derivável em
porque
não é finito.
b) Uma escolha conveniente é
b) Uma escolha conveniente é
cuja imagem é
e que é polinomial (logo derivável).
c) O gráfico de tem um cusp em
(tangente “vertical”), por isso
não existe, mas a parametrização
passa suavemente pelo cusp, com vetor velocidade nulo em
, razão pela qual
é derivável mesmo no ponto correspondente ao cusp.
c) O gráfico de