Considere f(x)=(raiz[3]x)^2.
a. Mostre que a função f não é derivável em x=0.
b. Determine uma curva gamma: R R^2, derivável e cuja imagem seja igual ao gráfico de f.
c. Interprete geometricamente o fato de f não ser derivável em x=0, mas a curva gamma ser derivável em t0, onde gamma(t0)=(0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x) = l(raiz[3]xr)^2 = x^2/3
e pede:
a) mostrar que f não é derivável em x=0;
b) encontrar uma curva gammacolonRtoR^2, derivável, cuja imagem seja o gráfico de f;
c) interpretar geometricamente por que f falha em ser derivável em 0, mas gamma é derivável no parâmetro t0 tal que gamma(t0)=(0,0).

Passo 2

Para testar a derivabilidade de f em 0, usamos a definição
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h-0 =limhto0h^2/3-0h =limhto0h^-1/3
Quando hto0^+, h^-1/3to+infty; quando hto0^-, h^-1/3to+infty (pois o cubo de um número negativo é negativo, mas na potência -1/3 volta a dar um valor negativo elevado a -1, que também tende a +infty em módulo), de modo que não há um limite finito. Logo, f'(0) não existe e f não é derivável em x=0.

Passo 3

Queremos uma parametrização gamma(t)=(x(t),y(t)) cujo conjunto de pontos seja
(x,y)inR^2: y=f(x)
Escolhemos
gamma(t) = (t^3,;t^2)
Então x=t^3 e y=t^2. Como raiz[3]t^3=t, temos
y = t^2 = l(raiz[3]t^3r)^2 = f(t^3) = f(x),
logo a imagem de gamma é exatamente o gráfico de f. Além disso, x(t) e y(t) são polinômios, portanto gamma é derivável em todo t.

Passo 4

Calculamos a derivada de gamma componente a componente:
gamma'(t) = l(3t^2,;2tr)
Em particular, em t0=0 temos
gamma'(0) = (0,0),
o que mostra que gamma é derivável em t0.

Passo 5

Geometricamente, o gráfico de f(x)=x^2/3 tem um “bico” ou cusp em (0,0): a inclinação da reta tangente tende ao infinito, não definindo uma reta tangente de inclinação finita, por isso f não é derivável em 0. Já a curva gamma(t)=(t^3,t^2) é uma parametrização suave (polinomial) desse mesmo gráfico; ela atravessa o cusp com velocidade zero ( gamma'(0)=(0,0)), mas ainda assim a família de vetores gamma'(t) está bem definida para todo t, garantindo que gamma seja derivável em t0.

Resposta

a) f não é derivável em 0 porque
limhto0h^2/3h =limhto0h^-1/3
não é finito.
b) Uma escolha conveniente é
gamma(t) = l(t^3,;t^2r),
cuja imagem é (x,y)mid y=(raiz[3]x)^2 e que é polinomial (logo derivável).
c) O gráfico de f tem um cusp em (0,0) (tangente “vertical”), por isso f'(0) não existe, mas a parametrização gamma passa suavemente pelo cusp, com vetor velocidade nulo em t0, razão pela qual gamma é derivável mesmo no ponto correspondente ao cusp.

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