Questão 1:
a) y^prime y^2+y^prime=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' ,y^2 + y' = x
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é ODE separável, pois podemos escrever y' em função de x e de y de modo a separar variáveis.

Passo 2

Fatorando y' na equação, temos
y',(y^2+1)=x
Como y'=dydx, isso fica
(y^2+1),dydx=x
Agora separamos as variáveis y e x:
(y^2+1),dy = x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral (y^2+1),dy = integral x,dx
No lado esquerdo
integral y^2,dy + integral 1,dy = y^33 + y,
e no direito
integral x,dx = x^22,
mais a constante de integração C. Logo
y^33 + y = x^22 + C

Passo 4

Podemos reescrever a solução geral em forma implícita ou multiplicar tudo por 6 para limpar denominadores. Uma forma comum é
y^33 + y = x^22 + C

Resposta

boxedy^33 + y = x^22 + C,
onde C é a constante de integração.

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