Marque com V (Verdadeiro) ou F(Falso). Justifique
( ) Não existe um campo vetorial
tal que
( ) Não existe um campo vetorial
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que marcar com V (Verdadeiro) ou F (Falso) a afirmação: "Não existe um campo vetorial $ G $ tal que
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre o rotacional (ou curl) de um campo vetorial e as condições necessárias para que um campo vetorial seja o rotacional de outro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial $ G $, denotado por $ \operatorname{rot} G $ ou $ \nabla \times G $, sempre tem divergência zero. Isso significa que se quisermos que $ \operatorname{rot} G = \left(2x, 3yz, -xz^{2}\right) $, então a divergência desse vetor deve ser zero.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do vetor $ \left(2x, 3yz, -xz^{2}\right) $. A divergência é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Passo 4
Para que exista um campo vetorial $ G $ tal que $ \operatorname{rot} G = \left(2x, 3yz, -xz^{2}\right) $, a divergência desse vetor deve ser zero:
No entanto, essa igualdade não é verdadeira para todos os valores de $ x $ e $ z $. Portanto, a divergência não é zero em geral.
Passo 5
Como a divergência de $ \operatorname{rot} G $ não é zero, isso viola uma condição necessária para que exista um campo vetorial $ G $ cujo rotacional seja o vetor dado. Logo, não existe tal campo vetorial $ G $.
Resposta
Verdadeiro (V). Não existe um campo vetorial $ G $ tal que $ \operatorname{rot} G = \left(2x, 3yz, -xz^{2}\right) $ porque a divergência do vetor dado não é zero.