Marque com V (Verdadeiro) ou F(Falso). Justifique
( ) Não existe um campo vetorial G tal que
rot G=(2 x, 3 y z,-x z^2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que marcar com V (Verdadeiro) ou F (Falso) a afirmação: "Não existe um campo vetorial $ G $ tal que
G
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre o rotacional (ou curl) de um campo vetorial e as condições necessárias para que um campo vetorial seja o rotacional de outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial $ G $, denotado por $ \operatorname{rot} G $ ou $ \nabla \times G $, sempre tem divergência zero. Isso significa que se quisermos que $ \operatorname{rot} G = \left(2x, 3yz, -xz^{2}\right) $, então a divergência desse vetor deve ser zero.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do vetor $ \left(2x, 3yz, -xz^{2}\right) $. A divergência é dada por:
(2x, 3yz, -xz^2)
Aplicando isso ao nosso vetor:
div(F) = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z

Passo 4

Para que exista um campo vetorial $ G $ tal que $ \operatorname{rot} G = \left(2x, 3yz, -xz^{2}\right) $, a divergência desse vetor deve ser zero:
G
No entanto, essa igualdade não é verdadeira para todos os valores de $ x $ e $ z $. Portanto, a divergência não é zero em geral.

Passo 5

Como a divergência de $ \operatorname{rot} G $ não é zero, isso viola uma condição necessária para que exista um campo vetorial $ G $ cujo rotacional seja o vetor dado. Logo, não existe tal campo vetorial $ G $.

Resposta

Verdadeiro (V). Não existe um campo vetorial $ G $ tal que $ \operatorname{rot} G = \left(2x, 3yz, -xz^{2}\right) $ porque a divergência do vetor dado não é zero.

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