Escreva a equação da reta tangente à parábola no ponto dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação da reta tangente à parábola $ y = -x^{2} $ no ponto onde $ x_{0} = 1 $. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar as coordenadas do ponto na parábola onde $ x_{0} = 1 $. Para isso, substituímos $ x_{0} $ na equação da parábola:
Então, o ponto de tangência é $ (1, -1) $.
Passo 3
Agora, vamos precisar da derivada da função $ y = -x^{2} $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto $ x_{0} = 1 $, substituímos $ x = 1 $ na derivada:
Então, a inclinação $ m $ da reta tangente é $ -2 $.
Passo 5
Com a inclinação $ m = -2 $ e o ponto de tangência $ (1, -1) $, usamos a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente à parábola no ponto dado é: