Encontre os pontos pertencentes à esfera , que se encontrem, respectivamente, mais próximo e mais distante, de seu ponto interior ; quais essas distâncias: mínima e máxima?
Passo 1
O enunciado pede para achar, na esfera de equação , os pontos que estão mais próximos e mais distantes de um ponto interior , e calcular essas distâncias mínima e máxima. O conteúdo envolve geometria analítica: distância entre pontos, propriedades de esfera centrada na origem e otimização de distâncias.
Passo 2
Para esse tipo de problema, usamos a ideia de que, para um ponto interior e uma esfera de centro e raio , os pontos da esfera que extremizam a distância a estão alinhados com e . Primeiro, calculamos o vetor e sua norma.
Passo 3
Calculamos a norma de OP0:
|OP0| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3
Passo 4
Os pontos extremos na esfera estão no mesmo sentido e no sentido oposto de OP0, ajustados ao raio R=3. Como
3raiz3 = raiz3,
os pontos são:
Pmin = raiz3(1,-1,1) = (raiz3, -raiz3, raiz3),
Pmax = -raiz3(1,-1,1) = (-raiz3, raiz3, -raiz3)
Passo 5
As distâncias mínima e máxima entre P0 e a esfera são dadas por
distmin = R - |OP0| = 3 - raiz3,
distmax = R + |OP0| = 3 + raiz3
Resposta
Pontos: (raiz3, -raiz3, raiz3) mais próximo e (-raiz3, raiz3, -raiz3) mais distante; distâncias mínima 3 - raiz3 e máxima 3 + raiz3.