Encontre os pontos pertencentes à esfera x^2+y^2+z^2=9, que se encontrem, respectivamente, mais próximo e mais distante, de seu ponto interior (1,-1,1); quais essas distâncias: mínima e máxima?

Passo 1

O enunciado pede para achar, na esfera de equação x^2 + y^2 + z^2 = 9, os pontos que estão mais próximos e mais distantes de um ponto interior (1,-1,1), e calcular essas distâncias mínima e máxima. O conteúdo envolve geometria analítica: distância entre pontos, propriedades de esfera centrada na origem e otimização de distâncias.

Passo 2

Para esse tipo de problema, usamos a ideia de que, para um ponto interior P0 e uma esfera de centro O e raio R, os pontos da esfera que extremizam a distância a P0 estão alinhados com O e P0. Primeiro, calculamos o vetor OP0=(1,-1,1) e sua norma.

Passo 3

Calculamos a norma de OP0:
|OP0| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz3

Passo 4

Os pontos extremos na esfera estão no mesmo sentido e no sentido oposto de OP0, ajustados ao raio R=3. Como
3raiz3 = raiz3,
os pontos são:
Pmin = raiz3(1,-1,1) = (raiz3, -raiz3, raiz3),
Pmax = -raiz3(1,-1,1) = (-raiz3, raiz3, -raiz3)

Passo 5

As distâncias mínima e máxima entre P0 e a esfera são dadas por
distmin = R - |OP0| = 3 - raiz3,
distmax = R + |OP0| = 3 + raiz3

Resposta

Pontos: (raiz3, -raiz3, raiz3) mais próximo e (-raiz3, raiz3, -raiz3) mais distante; distâncias mínima 3 - raiz3 e máxima 3 + raiz3.

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