Dentre todos os retângulos de área 49 \mathrm{~cm}^{2}, qual tem perímetro mínimo?

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de área fixa 49\\ \mathrm{cm}^2 que minimize o perímetro. O conteúdo envolvido é otimização de função de uma variável com restrição de área, usando derivadas.

Passo 2

Sejam x e y os comprimentos dos lados do retângulo (em cm). A condição de área fixa é
xy = 49.
O perímetro é
P = 2(x+y).
Como y = \tfrac{49}{x}, podemos escrever
P(x) = 2\bigl(x + \frac{49}{x}\bigr).

Passo 3

Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada primeira:
P'(x) = 2\Bigl(1 - \frac{49}{x^2}\Bigr).
Impondo P'(x)=0
1 - \frac{49}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 49 \quad\Longrightarrow\quad x = 7\quad(\text{somente a raiz positiva faz sentido}).

Passo 4

Verificamos se é mínimo pela segunda derivada:
P''(x) = 2\cdot\frac{98}{x^3} = \frac{196}{x^3},
e em x=7 temos P''(7)>0, confirmando que é realmente um ponto de mínimo.

Passo 5

Para x=7 cm, vem
y = \frac{49}{7} = 7\\ \mathrm{cm},
e o perímetro mínimo é
P_{\min} = 2(7+7) = 28\\ \mathrm{cm}.

Resposta

O retângulo de perímetro mínimo é o quadrado de lados 7\\ \mathrm{cm}, com perímetro igual a 28\\ \mathrm{cm}.

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