Dentre todos os retângulos de área
, qual tem perímetro mínimo?
Passo 1
O enunciado pede o retângulo de área fixa
que minimize o perímetro. O conteúdo envolvido é otimização de função de uma variável com restrição de área, usando derivadas.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos lados do retângulo (em cm). A condição de área fixa é
O perímetro é
Como
, podemos escrever
Passo 3
Para encontrar o mínimo, calculamos a derivada primeira:
Impondo
dá
Passo 4
Verificamos se é mínimo pela segunda derivada:
e em
temos
, confirmando que é realmente um ponto de mínimo.
Passo 5
Para
cm, vem
e o perímetro mínimo é
Resposta
O retângulo de perímetro mínimo é o quadrado de lados
, com perímetro igual a
.