Quer-se construir uma sala retangular que tenha 236 \mathrm{~m}^{2} de área. Quais devem ser as dimensões para que seu perímetro seja o menor possível?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as dimensões de uma sala retangular de área 236\\ \mathrm{m}^2 que minimizem o perímetro. O conteúdo é otimização de função com restrição (geometria e cálculo), em que vamos usar a relação entre área fixa e perímetro a fim de achar o mínimo via derivada.

Passo 2

Sejam x e y as medidas dos lados do retângulo (em metros). A área fixa impõe
xy = 236.

Passo 3

Da restrição de área, isolamos y:
y = \frac{236}{x}.

Passo 4

O perímetro P em função de x fica
P(x) = 2\bigl(x + y\bigr) = 2\Bigl(x + \frac{236}{x}\Bigr).

Passo 5

Para minimizar P(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
P'(x) = 2\Bigl(1 - \frac{236}{x^2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{236}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 236 \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{236}.

Passo 6

Como y = 236/x, ao usar x = \sqrt{236} obtemos
y = \frac{236}{\sqrt{236}} = \sqrt{236}.
Logo, o retângulo de perímetro mínimo é na verdade um quadrado de lado \sqrt{236} metros.

Resposta

As dimensões que minimizam o perímetro são
\sqrt{236}\\ \mathrm{m} \times \sqrt{236}\\ \mathrm{m}.

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