Quer-se construir uma sala retangular que tenha
de área. Quais devem ser as dimensões para que seu perímetro seja o menor possível?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as dimensões de uma sala retangular de área
que minimizem o perímetro. O conteúdo é otimização de função com restrição (geometria e cálculo), em que vamos usar a relação entre área fixa e perímetro a fim de achar o mínimo via derivada.
Passo 2
Sejam
e
as medidas dos lados do retângulo (em metros). A área fixa impõe
Passo 3
Da restrição de área, isolamos
:
Passo 4
O perímetro
em função de
fica
Passo 5
Para minimizar
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Passo 6
Como
, ao usar
obtemos
Logo, o retângulo de perímetro mínimo é na verdade um quadrado de lado
metros.
Resposta
As dimensões que minimizam o perímetro são