Há várias semanas o Departamento de Estradas vem registrando velocidade do tráfego fluindo numa rodovia após uma saída. Os dados sugerem que a velocidade do tráfego na saída é aproximadamente f(t)=t^{3}-10,5 t^{2}+30 t+20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, onde t é o número de horas após o meio dia. A que horas entre 15 e 18 horas, o tráfego se move mais rápido e a aue horas ele se move mais lentamente?

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(t) que modela a velocidade do tráfego em km/h, onde t é o número de horas após o meio-dia:
f(t) = t^3 - 10,5\,t^2 + 30\,t + 20.
Queremos saber, no intervalo de tempo entre 15 h e 18 h (isto é, t de 3 a 6), em que instante a velocidade é máxima e em que instante é mínima. Para isso, vamos calcular a derivada de f, encontrar pontos críticos e comparar valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(t) = 3\,t^2 - 21\,t + 30.
Para localizar pontos críticos, resolvemos
f'(t) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3\,t^2 - 21\,t + 30 = 0.
Dividindo por 3, obtém-se
t^2 - 7\,t + 10 = 0,
cuja solução é
t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \;\Longrightarrow\; t = 2 \quad\text{ou}\quad t = 5.
Desses, apenas t=5 pertence ao intervalo [3,6]. Portanto, há um ponto crítico interno em t=5.

Passo 3

Avaliamo-s f nos pontos t=3, t=5 e t=6:
f(3) = 3^3 - 10,5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 + 20 = 27 - 94{,}5 + 90 + 20 = 42{,}5,
f(5) = 5^3 - 10,5 \cdot 5^2 + 30 \cdot 5 + 20 = 125 - 262{,}5 + 150 + 20 = 32{,}5,
f(6) = 6^3 - 10,5 \cdot 6^2 + 30 \cdot 6 + 20 = 216 - 378 + 180 + 20 = 38.

Passo 4

Comparando os três valores, o maior é 42{,}5 em t=3 e o menor é 32{,}5 em t=5. Como t é horas após o meio-dia, temos:
t=3 corresponde a 15 h.
t=5 corresponde a 17 h.

Resposta

O tráfego se move mais rápido às 15 h e mais lentamente às 17 h.

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