Um arame de comprimento 12 m é cortado em dois pedaços, sendo que um pedaço é dobrado em forma de quadrado cujo lado é
, e o outro pedaço é dobrado em forma de círculo cujo raio é
. Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja máxima?
Passo 1
O enunciado diz que temos um arame de comprimento
m, cortado em dois pedaços. Um pedaço de comprimento
forma um quadrado de lado
e o outro pedaço de comprimento
forma um círculo de raio
. Queremos escolher
e
para maximizar a soma das áreas
sujeita à restrição
Passo 2
A partir de
isolamos
:
Passo 3
Substituímos
em
para obter uma função de uma variável
:
Passo 4
Para encontrar extremos, derivamos
em relação a
:
Igualando a zero:
Esse ponto é mínimo (coeficiente de
positivo), então o máximo de
ocorre nos extremos do intervalo possível de
, que é
(pois de
vem
).
Passo 5
Calculamos
nos dois extremos:
- Para
, todo o arame faz o círculo com ,
- Para
, todo o arame faz o quadrado e ,
Como
, o valor máximo de
ocorre em
.
Resposta
O arame deve ser inteiro usado para formar o círculo (ou seja,
para o quadrado e
para o círculo).