Um arame de comprimento 12 m é cortado em dois pedaços, sendo que um pedaço é dobrado em forma de quadrado cujo lado é l, e o outro pedaço é dobrado em forma de círculo cujo raio é R. Como devemos cortar o arame para que a soma das áreas englobadas pelos dois pedaços seja máxima?

Passo 1

O enunciado diz que temos um arame de comprimento 12 m, cortado em dois pedaços. Um pedaço de comprimento 4l forma um quadrado de lado l e o outro pedaço de comprimento 2\pi R forma um círculo de raio R. Queremos escolher l e R para maximizar a soma das áreas
A = l^2 + \pi R^2
sujeita à restrição
4l + 2\pi R = 12.

Passo 2

A partir de
4l + 2\pi R = 12
isolamos R:
2\pi R = 12 - 4l \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{12 - 4l}{2\pi} = \frac{6 - 2l}{\pi}.

Passo 3

Substituímos R em A para obter uma função de uma variável l:
A(l) = l^2 + \pi\Bigl(\frac{6 - 2l}{\pi}\Bigr)^2 = l^2 + \frac{(6 - 2l)^2}{\pi}.

Passo 4

Para encontrar extremos, derivamos A(l) em relação a l:
A'(l) = 2l - \frac{2\,(6 - 2l)\,2}{\pi} = 2l - \frac{4(6 - 2l)}{\pi}.
Igualando a zero:
2l = \frac{4(6 - 2l)}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad l = \frac{12}{\pi + 4}.
Esse ponto é mínimo (coeficiente de l^2 positivo), então o máximo de A ocorre nos extremos do intervalo possível de l, que é 0 \le l \le 3 (pois de R\ge0 vem 6-2l\ge0).

Passo 5

Calculamos A nos dois extremos:
  • Para l=0, todo o arame faz o círculo com R=6/\pi,
A(0)=0^2+\pi\Bigl(\frac{6}{\pi}\Bigr)^2=\frac{36}{\pi}\approx11{,}46.
  • Para l=3, todo o arame faz o quadrado e R=0,
A(3)=3^2+0=9.
Como \tfrac{36}{\pi}>9, o valor máximo de A ocorre em l=0.

Resposta

O arame deve ser inteiro usado para formar o círculo (ou seja, l=0 para o quadrado e \;R=6/\pi para o círculo).

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