Dentre todos os retângulos de perímetro 12 unidades de comprimento, determine as dimensões do retângulo que tem diagonal mínima.

Passo 1

O enunciado pede: entre todos os retângulos cujo perímetro é 12 unidades, determinar as dimensões do retângulo que têm a diagonal mínima.
Informações dadas e condições relevantes: 2 lados do retângulo são positivos e variáveis (vamos chamá‑los de lados), o perímetro é fixo igual a 12, e o objetivo é minimizar a medida da diagonal do retângulo. Não há outras restrições além de ser um retângulo com lados positivos.

Passo 2

Definimos variáveis para organizar o problema: seja x a medida de um lado e y a medida do outro lado do retângulo, com x>0 e y>0. O perímetro P de um retângulo é dado pela soma das quatro arestas:
P = 2(x+y).
Como o enunciado diz que o perímetro é 12, temos a equação de restrição
2(x+y)=12.
Dividindo por 2, obtemos a relação linear entre os lados:
x+y=6.

Passo 3

A diagonal d de um retângulo forma um triângulo retângulo cujos catetos são x e y. Pela relação de Pitágoras, a diagonal satisfaz
d=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui eu expliquei: x^{2}+y^{2} é a soma dos quadrados dos catetos e a raiz quadrada dá a hipotenusa (a diagonal).

Passo 4

Usamos a restrição x+y=6 para escrever y em função de x:
y=6-x.
Substituindo em d obtemos uma função de uma variável:
d(x)=\sqrt{x^{2}+(6-x)^{2}}.
Agora vamos desenvolver o conteúdo dentro da raiz para simplificar:
x^{2}+(6-x)^{2}=x^{2}+(36-12x+x^{2})=2x^{2}-12x+36.
Logo
d(x)=\sqrt{2x^{2}-12x+36}.

Passo 5

Para minimizar d(x) é mais simples minimizar o quadrado da diagonal, porque a função raiz quadrada é crescente para argumentos não negativos. Ou seja, minimizar d(x) é equivalente a minimizar
D(x)=d(x)^{2}=2x^{2}-12x+36.
Agora vou minimizar a quadrática D(x). Uma forma direta e elementar é completar o quadrado. Primeiro fatoramos o coeficiente de x^{2}:
D(x)=2\bigl(x^{2}-6x\bigr)+36.
Completa‑se o quadrado dentro do parêntese: x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9. Substituindo,
D(x)=2\bigl((x-3)^{2}-9\bigr)+36=2(x-3)^{2}-18+36=2(x-3)^{2}+18.
Dessa forma vemos claramente que 2(x-3)^{2} é sempre não negativo e atinge seu mínimo 0 quando x=3. Portanto D(x) atinge seu mínimo quando
x=3.
Usando y=6-x, temos
y=6-3=3.
O valor mínimo de D é D_{\min}=2\cdot 0 +18=18. Assim o valor mínimo da diagonal é
d_{\min}=\sqrt{D_{\min}}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.

Passo 6

Interpretação e intuição final: o retângulo que minimiza a diagonal com perímetro fixo é, na verdade, um quadrado de lado 3. Isso faz sentido também pela ideia de simetria: com soma fixa x+y a expressão x^{2}+y^{2} fica menor quando x e y são iguais (pode ver isso usando (x-y)^{2}\ge 0, que leva a x^{2}+y^{2}\ge 2xy e, com soma fixa, o balanço é otimizado em x=y). Então, sempre que precisar em prova: transforme o problema para uma variável usando a restrição, considere minimizar o quadrado da distância se houver raiz, e complete o quadrado (ou derive) para achar o ponto ótimo. Força aí — você consegue!

Resposta

As dimensões são 3 por 3 (ou seja, um quadrado de lado 3).
A diagonal mínima vale 3\sqrt{2}.

Exercícios relacionados