Dentre todos os retângulos de perímetro 12 unidades de comprimento, determine as dimensões do retângulo que tem diagonal mínima.
Passo 1
O enunciado pede: entre todos os retângulos cujo perímetro é
unidades, determinar as dimensões do retângulo que têm a diagonal mínima.
Informações dadas e condições relevantes: lados do retângulo são positivos e variáveis (vamos chamá‑los de lados), o perímetro é fixo igual a
, e o objetivo é minimizar a medida da diagonal do retângulo. Não há outras restrições além de ser um retângulo com lados positivos.
Informações dadas e condições relevantes:
Passo 2
Definimos variáveis para organizar o problema: seja
a medida de um lado e
a medida do outro lado do retângulo, com
e
. O perímetro
de um retângulo é dado pela soma das quatro arestas:
Como o enunciado diz que o perímetro é
, temos a equação de restrição
Dividindo por
, obtemos a relação linear entre os lados:
Passo 3
A diagonal
de um retângulo forma um triângulo retângulo cujos catetos são
e
. Pela relação de Pitágoras, a diagonal satisfaz
Aqui eu expliquei:
é a soma dos quadrados dos catetos e a raiz quadrada dá a hipotenusa (a diagonal).
Passo 4
Usamos a restrição
para escrever
em função de
:
Substituindo em
obtemos uma função de uma variável:
Agora vamos desenvolver o conteúdo dentro da raiz para simplificar:
Logo
Passo 5
Para minimizar
é mais simples minimizar o quadrado da diagonal, porque a função raiz quadrada é crescente para argumentos não negativos. Ou seja, minimizar
é equivalente a minimizar
Agora vou minimizar a quadrática
. Uma forma direta e elementar é completar o quadrado. Primeiro fatoramos o coeficiente de
:
Completa‑se o quadrado dentro do parêntese:
. Substituindo,
Dessa forma vemos claramente que
é sempre não negativo e atinge seu mínimo
quando
. Portanto
atinge seu mínimo quando
Usando
, temos
O valor mínimo de
é
. Assim o valor mínimo da diagonal é
Passo 6
Interpretação e intuição final: o retângulo que minimiza a diagonal com perímetro fixo é, na verdade, um quadrado de lado
. Isso faz sentido também pela ideia de simetria: com soma fixa
a expressão
fica menor quando
e
são iguais (pode ver isso usando
, que leva a
e, com soma fixa, o balanço é otimizado em
). Então, sempre que precisar em prova: transforme o problema para uma variável usando a restrição, considere minimizar o quadrado da distância se houver raiz, e complete o quadrado (ou derive) para achar o ponto ótimo. Força aí — você consegue!
Resposta
As dimensões são
por
(ou seja, um quadrado de lado
).
A diagonal mínima vale .
A diagonal mínima vale