Dentre todos os triângulos retângulos cujos catetos somam 10 unidades de comprimento, determine as dimensões do triângulo de área máxima.
Passo 1
O enunciado pede: entre todos os triângulos retângulos cujos catetos somam
unidades, determinar as dimensões do triângulo que tem área máxima.
Informações dadas e perguntas claras:
Informações dadas e perguntas claras:
- Os catetos (os dois lados perpendiculares) têm comprimentos positivos que chamaremos de
e . - Existe a restrição
(soma fixa igual a ). - Pergunta: quais são os comprimentos de
e que fazem a área do triângulo ser máxima? (É bom também fornecer a área máxima.)
Passo 2
Definimos variáveis e a expressão da área. Seja
e
os comprimentos dos catetos (ambos
). A área
de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos, então
Temos a restrição dada pelo enunciado:
Passo 3
Usamos a restrição para escrever a área em uma única variável. Da restrição segue
. Substituindo em
obtemos
Fazendo a multiplicação:
Agora temos uma função de uma variável
definida para
.
Passo 4
Observação sobre a forma de
: trata-se de uma parábola (função quadrática) do tipo
. Coeficiente de
é negativo, portanto a parábola é côncava para baixo e tem um único ponto de máximo (o vértice). Para achar o máximo podemos completar o quadrado — um método algébrico simples e sem derivadas.
Completemos o quadrado passo a passo:
Dentro do parêntese completamos o quadrado:
. Substituindo:
Dessa forma vemos claramente que o termo
é sempre
, e atinge
exatamente quando
, ou seja,
. Assim o valor máximo de
é o termo constante:
Passo 5
Concluímos os comprimentos dos catetos. Encontramos
. Usando
obtemos
. Então os dois catetos medem
unidades cada — o triângulo ótimo é um triângulo retângulo isósceles (catetos iguais).
Passo 6
Verificação rápida por outro método (opcional, só para reforçar a ideia): usando derivada,
. Cancelando para encontrar extremo:
. Como
, é máximo. Dá o mesmo resultado.
Também uma explicação conceitual curta: para números positivos com soma fixa, o produto é maximizado quando os números são iguais. Aqui maximizar
com
leva a
; a demonstração pode ser feita usando
e obter
.
Passo 7
Calculemos a área máxima numericamente: com
,
Resposta
Catetos:
e
unidades.
Área máxima: .
Área máxima: