Dentre todos os triângulos retângulos cujos catetos somam 10 unidades de comprimento, determine as dimensões do triângulo de área máxima.

Passo 1

O enunciado pede: entre todos os triângulos retângulos cujos catetos somam 10 unidades, determinar as dimensões do triângulo que tem área máxima.
Informações dadas e perguntas claras:
  • Os catetos (os dois lados perpendiculares) têm comprimentos positivos que chamaremos de x e y.
  • Existe a restrição \;x+y=10\; (soma fixa igual a 10).
  • Pergunta: quais são os comprimentos de x e y que fazem a área do triângulo ser máxima? (É bom também fornecer a área máxima.)

Passo 2

Definimos variáveis e a expressão da área. Seja x e y os comprimentos dos catetos (ambos >0). A área A de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos, então
A=\frac{1}{2}xy.
Temos a restrição dada pelo enunciado:
x+y=10.

Passo 3

Usamos a restrição para escrever a área em uma única variável. Da restrição segue \;y=10-x. Substituindo em A obtemos
A(x)=\frac{1}{2}\,x(10-x).
Fazendo a multiplicação:
A(x)=\frac{1}{2}(10x-x^2)=5x-\frac{1}{2}x^2.
Agora temos uma função de uma variável x definida para 0<x<10.

Passo 4

Observação sobre a forma de A(x): trata-se de uma parábola (função quadrática) do tipo -\frac{1}{2}x^2+5x. Coeficiente de x^2 é negativo, portanto a parábola é côncava para baixo e tem um único ponto de máximo (o vértice). Para achar o máximo podemos completar o quadrado — um método algébrico simples e sem derivadas.
Completemos o quadrado passo a passo:
A(x)= -\frac{1}{2}x^2+5x = -\frac{1}{2}\bigl(x^2-10x\bigr).
Dentro do parêntese completamos o quadrado: x^2-10x = (x^2-10x+25)-25 = (x-5)^2-25. Substituindo:
A(x) = -\frac{1}{2}\bigl((x-5)^2-25\bigr) = -\frac{1}{2}(x-5)^2 + \frac{25}{2}.
Dessa forma vemos claramente que o termo -\frac{1}{2}(x-5)^2 é sempre \le 0, e atinge 0 exatamente quando x-5=0, ou seja, x=5. Assim o valor máximo de A é o termo constante:
A_{\max}=\frac{25}{2}.

Passo 5

Concluímos os comprimentos dos catetos. Encontramos x=5. Usando y=10-x obtemos y=10-5=5. Então os dois catetos medem 5 unidades cada — o triângulo ótimo é um triângulo retângulo isósceles (catetos iguais).

Passo 6

Verificação rápida por outro método (opcional, só para reforçar a ideia): usando derivada, A'(x)=5-x. Cancelando para encontrar extremo: 5-x=0\Rightarrow x=5. Como A''(x)=-1<0, é máximo. Dá o mesmo resultado.
Também uma explicação conceitual curta: para números positivos com soma fixa, o produto é maximizado quando os números são iguais. Aqui maximizar xy com x+y=10 leva a x=y=5; a demonstração pode ser feita usando (x-y)^2\ge0 e obter xy\le\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{100}{4}=25.

Passo 7

Calculemos a área máxima numericamente: com x=y=5,
A_{\max}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5=\frac{25}{2}=12,5.

Resposta

Catetos: 5 e 5 unidades.
Área máxima: 12,5\\ \text{unidades}^2.

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