Qual deve ser o raio da base de um recipiente cônico de geratriz 10 cm e volume máximo?

Passo 1

O enunciado dá um recipiente em forma de cone com geratriz igual a \;10\\ \text{cm}\; e pede: qual deve ser o raio da base para que o volume do cone seja máximo?
Informações relevantes fornecidas:
\; - a geratriz (slant) vale \;10\\ \text{cm}.
\; - queremos o raio da base (denotarei por \;r) que maximiza o volume.
\; - o cone tem altura (denotarei por \;h), que não é dada numericamente, mas está ligada a \;r pela geometria do cone.

Passo 2

Definindo variáveis e relações geométricas (explicando bem o que cada coisa significa):
\;r = raio da base do cone (medida em cm).
\;h = altura do cone (a distância do vértice ao centro da base, em cm).
\;l = geratriz do cone (reta inclinada do vértice até a borda da base); o enunciado dá \;l=10\\ \text{cm}.
Pela geometria do cone (triângulo retângulo formado por r, h e l) vale o Teorema de Pitágoras:
l^{2}=r^{2}+h^{2}.
Aqui cada símbolo significa exatamente aquilo que definimos. Não estou resolvendo ainda, só escrevendo a relação.

Passo 3

Expressar a altura \;h em função do raio \;r usando o Teorema de Pitágoras: como \;l=10, temos
10^{2}=r^{2}+h^{2}.
Isolando \;h:
h^{2}=100-r^{2}
e, tomando a raiz positiva (altura é positiva),
h=\sqrt{100-r^{2}}.
Isto nos dá a altura como função do raio, o que permite escrever o volume somente em termos de \;r.

Passo 4

Fórmula do volume de um cone e substituição: a fórmula do volume de um cone é
V=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}h,
onde \;r é o raio da base e \;h a altura. Substituindo \;h=\sqrt{100-r^{2}} obtemos a função volume em termos de \;r:
V(r)=\tfrac{1}{3}\pi r^{2}\sqrt{100-r^{2}}.
Agora temos um problema de otimização de uma função de uma variável: queremos o valor de \;r\in(0,10) que maximiza \;V(r). (Nota: r não pode ser 0 nem 10 para ter volume positivo; nos extremos o volume é zero.)

Passo 5

Estratégia de maximização (cálculo diferencial) e regras usadas: para encontrar máximos de uma função suave de uma variável, calculamos a derivada e achamos os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Aqui a função é diferenciável para 0<r<10, então procuramos \;V'(r)=0. Vou aplicar as regras de derivação necessárias e explicá-las:
  • Regra do produto: se f(r)=u(r)\,v(r) então f'(r)=u'(r)v(r)+u(r)v'(r).
  • Regra da cadeia: para (g(r))^{\alpha}, a derivada é \alpha (g(r))^{\alpha-1} g'(r).
  • Regra potência simples: derivada de r^{n} é n r^{n-1}.
Aplicando tudo em
V(r)=\tfrac{1}{3}\pi \; r^{2}\; (100-r^{2})^{1/2}.
Para facilitar, chamo k=\tfrac{1}{3}\pi (constante). Então
V(r)=k\; r^{2}\; (100-r^{2})^{1/2}.

Passo 6

Calcular a derivada \;V'(r) com passo a passo das contas:
Usando a regra do produto para r^{2} e (100-r^{2})^{1/2}:
V'(r)=k\Big( (r^{2})' \cdot (100-r^{2})^{1/2} + r^{2}\cdot \big((100-r^{2})^{1/2}\big)'\Big).
Calcule cada derivada:
(r^{2})'=2r.
Para a outra, usando regra da cadeia:
\big((100-r^{2})^{1/2}\big)'=\tfrac{1}{2}(100-r^{2})^{-1/2}\cdot (100-r^{2})'=\tfrac{1}{2}(100-r^{2})^{-1/2}\cdot (-2r)=-r(100-r^{2})^{-1/2}.
Substituindo:
V'(r)=k\Big(2r(100-r^{2})^{1/2} + r^{2}\cdot\big(-r(100-r^{2})^{-1/2}\big)\Big).
Simplificando o segundo termo:
V'(r)=k\Big(2r(100-r^{2})^{1/2} - r^{3}(100-r^{2})^{-1/2}\Big).

Passo 7

Continuar simplificação para achar as raízes: fatoro r(100-r^{2})^{-1/2} (isso é permitido para 0<r<10, pois não zera o fator):
V'(r)=k\, r(100-r^{2})^{-1/2}\Big(2(100-r^{2}) - r^{2}\Big).
Explico: para colocar tudo com o mesmo expoente, multiplique o primeiro termo por (100-r^{2})^{-1/2} e ajusta-se dentro do parêntese. Agora os fatores que podem anular a derivada são k (constante não nula), r, (100-r^{2})^{-1/2} (não nulo no intervalo aberto), ou o parêntese. Logo o único fator interior que pode dar raiz significativa é o parêntese:
2(100-r^{2}) - r^{2}=0.
Agora resolvo essa equação:
200 - 2r^{2} - r^{2}=0
200 - 3r^{2}=0
3r^{2}=200
r^{2}=\tfrac{200}{3}
Como r>0,
r=\sqrt{\tfrac{200}{3}}.

Passo 8

Simplificar a expressão e verificar que é máximo: simplificando \sqrt{\tfrac{200}{3}} podemos escrever
r=10\sqrt{\tfrac{2}{3}}.
Numérica aproximada (para intuição): \;r\approx 8,165\\ \text{cm}.
Verificação rápida de que é máximo: o volume é zero em r=0 e também tende a zero quando r\to 10^{-} (pois então h\to 0), e temos apenas um ponto crítico interno r=10\sqrt{\tfrac{2}{3}}; pela continuidade e pelo fato de as bordas terem volume menor, esse ponto crítico interno é o máximo do volume. (Alternativamente poderíamos checar o sinal de \;V''(r), mas o argumento dos extremos é suficiente e mais simples aqui.)

Resposta

r=10\sqrt{\tfrac{2}{3}}\\ \text{cm}\approx 8,165\\ \text{cm}

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