Qual deve ser o raio da base de um recipiente cônico de geratriz 10 cm e volume máximo?
Passo 1
O enunciado dá um recipiente em forma de cone com geratriz igual a
e pede: qual deve ser o raio da base para que o volume do cone seja máximo?
Informações relevantes fornecidas:
- a geratriz (slant) vale
.
- queremos o raio da base (denotarei por
) que maximiza o volume.
- o cone tem altura (denotarei por
), que não é dada numericamente, mas está ligada a
pela geometria do cone.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Definindo variáveis e relações geométricas (explicando bem o que cada coisa significa):
= raio da base do cone (medida em cm).
= altura do cone (a distância do vértice ao centro da base, em cm).
= geratriz do cone (reta inclinada do vértice até a borda da base); o enunciado dá
.
Pela geometria do cone (triângulo retângulo formado por
,
e
) vale o Teorema de Pitágoras:
Aqui cada símbolo significa exatamente aquilo que definimos. Não estou resolvendo ainda, só escrevendo a relação.
Passo 3
Expressar a altura
em função do raio
usando o Teorema de Pitágoras: como
, temos
Isolando
:
e, tomando a raiz positiva (altura é positiva),
Isto nos dá a altura como função do raio, o que permite escrever o volume somente em termos de
.
Passo 4
Fórmula do volume de um cone e substituição: a fórmula do volume de um cone é
onde
é o raio da base e
a altura. Substituindo
obtemos a função volume em termos de
:
Agora temos um problema de otimização de uma função de uma variável: queremos o valor de
que maximiza
. (Nota:
não pode ser 0 nem 10 para ter volume positivo; nos extremos o volume é zero.)
Passo 5
Estratégia de maximização (cálculo diferencial) e regras usadas: para encontrar máximos de uma função suave de uma variável, calculamos a derivada e achamos os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. Aqui a função é diferenciável para
, então procuramos
. Vou aplicar as regras de derivação necessárias e explicá-las:
- Regra do produto: se
então . - Regra da cadeia: para
, a derivada é . - Regra potência simples: derivada de
é .
Aplicando tudo em
Para facilitar, chamo
(constante). Então
Passo 6
Calcular a derivada
com passo a passo das contas:
Usando a regra do produto para
e
:
Calcule cada derivada:
Para a outra, usando regra da cadeia:
Substituindo:
Simplificando o segundo termo:
Passo 7
Continuar simplificação para achar as raízes: fatoro
(isso é permitido para
, pois não zera o fator):
Explico: para colocar tudo com o mesmo expoente, multiplique o primeiro termo por
e ajusta-se dentro do parêntese. Agora os fatores que podem anular a derivada são
(constante não nula),
,
(não nulo no intervalo aberto), ou o parêntese. Logo o único fator interior que pode dar raiz significativa é o parêntese:
Agora resolvo essa equação:
Como
,
Passo 8
Simplificar a expressão e verificar que é máximo: simplificando
podemos escrever
Numérica aproximada (para intuição):
.
Verificação rápida de que é máximo: o volume é zero em e também tende a zero quando
(pois então
), e temos apenas um ponto crítico interno
; pela continuidade e pelo fato de as bordas terem volume menor, esse ponto crítico interno é o máximo do volume. (Alternativamente poderíamos checar o sinal de
, mas o argumento dos extremos é suficiente e mais simples aqui.)
Verificação rápida de que é máximo: o volume é zero em