Resolva o problema de Dirichlet exterior para um disco circular de raio c se u(c, \theta)-\int(\theta), 0<\theta<2 \pi. Em outras palavras, determine a temperatura de regime permanente u(r, \theta) em uma placa que coincide com o plano x y inteiro no qual um buraco circular de raio c tenha sido feito em torno da origem e a temperatura na circunferência do buraco seja f(\theta). [Sugestão: Considere a temperatura u limitada quando r \rightarrow \infty.]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a temperatura de regime permanente u(r,\theta) no domínio exterior ao círculo de raio c (ou seja, para r>c), sabendo que na borda do buraco a temperatura é dada por
u(c,\theta)=f(\theta),\qquad 0<\theta<2\pi,
e que a solução é limitada quando r\to\infty. Informação relevante fornecida:
  • Domínio: \{(r,\theta)\mid r>c,\;0\le\theta<2\pi\}.
  • Condição de contorno: valor prescrito na circunferência r=c, u(c,\theta)=f(\theta).
  • Condição no infinito: u(r,\theta) é limitada quando r\to\infty.
    A tarefa: determinar explicitamente u(r,\theta) para r\ge c.

Passo 2

Escrevemos a equação que governa a temperatura em regime permanente (equação de Laplace) em coordenadas polares. A função u(r,\theta) deve ser harmônica em r>c, isto é,
\Delta u = u_{rr} + \frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta} = 0,\qquad r>c.
Explico: \Delta u é o laplaciano em coordenadas polares e as derivadas são parciais em relação a r e \theta. Nosso objetivo é achar todas as funções u que satisfaçam essa equação e as condições de contorno dadas.

Passo 3

Tentamos solução por separação de variáveis, assumindo uma solução da forma
u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta).
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por R\Theta obtemos
\frac{r^2 R''(r)+r R'(r)}{R(r)} + \frac{\Theta''(\theta)}{\Theta(\theta)} = 0.
Cada termo depende de uma única variável, logo ambos devem ser iguais a uma constante oposta; chamamos essa constante de \lambda. Assim obtemos os dois ODEs:
\Theta''(\theta) + \lambda \Theta(\theta)=0,
r^2 R''(r) + r R'(r) - \lambda R(r)=0.

Passo 4

Como \Theta(\theta) deve ser 2\pi-periódica (função angular), os autovalores \lambda admissíveis são \lambda = n^2 com n=0,1,2,\dots. Explico por quê: a equação \Theta''+\lambda\Theta=0 tem soluções oscilatórias apenas quando \lambda\ge0; impor \Theta(\theta+2\pi)=\Theta(\theta) força \sqrt{\lambda} a ser inteiro. Para cada n temos:
  • Para n=0: \Theta(\theta)= constante.
  • Para n\ge1: \Theta(\theta)=A_n\cos(n\theta)+B_n\sin(n\theta).

Passo 5

Agora resolvemos a parte radial para cada n.
  • Caso n=0 (ou seja \lambda=0): a equação radial é
r^2 R'' + r R' = 0.
Isso é uma equação de Euler que integra para
R(r)=\alpha_0 + \beta_0 \ln r,
onde \alpha_0,\beta_0 são constantes.
  • Para n\ge1 (ou seja \lambda=n^2): a equação radial é
r^2 R'' + r R' - n^2 R = 0,
cuja solução geral é
R(r)=\alpha_n r^n + \beta_n r^{-n},
novamente com constantes \alpha_n,\beta_n.
Explicação curta: a equação radial é uma equação de Euler-Cauchy; procura-se R(r)=r^m e obtém-se uma equação quadrática para m, cujo resultado dá essas potências.

Passo 6

Combinando as partes angular e radial, a solução harmônica geral no domínio exterior (antes de impor condições no infinito) é a soma das contribuições para todos os n:
u(r,\theta) = A_0 + B_0\ln r + \sum_{n=1}^{\infty}\big(\alpha_n r^n + \beta_n r^{-n}\big)\big(C_n\cos n\theta + D_n\sin n\theta\big).
Podemos reorganizar os coeficientes para escrever mais simplesmente:
u(r,\theta) = a_0 + b_0\ln r + \sum_{n=1}^{\infty}\left( a_n r^n \cos n\theta + \tilde a_n r^{-n}\cos n\theta + b_n r^n \sin n\theta + \tilde b_n r^{-n}\sin n\theta\right).
Isto é o desenvolvimento de Fourier em \theta com cada modo tendo a dependência radial apropriada.

Passo 7

Imponha a condição de ser limitada quando r\to\infty. Observações sobre comportamento:
  • \ln r\to\infty quando r\to\infty, então para que u seja limitada precisamos de b_0=0.
  • Termos com r^n (para n\ge1) crescem como potência e portanto também fariam u explodir quando r\to\infty. Logo seus coeficientes devem ser zero.
    Consequentemente, os únicos termos que permanecem são o termo constante (modo n=0) e os modos decrescentes r^{-n} para n\ge1. Assim a forma da solução limitada é
u(r,\theta)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} r^{-n}\big(A_n\cos n\theta + B_n\sin n\theta\big).
Isso tem sentido físico: longe do buraco a temperatura tende a um valor constante a_0, e as variações angulares ficam com decaimento r^{-n}.

Passo 8

Ajustamos os coeficientes impondo a condição de contorno na circunferência r=c:
u(c,\theta)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} c^{-n}\big(A_n\cos n\theta + B_n\sin n\theta\big)=f(\theta).
Isto diz que a série em \theta que aparece deve ser a série de Fourier de f(\theta). Portanto expandimos f em série de Fourier:
f(\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\,d\varphi + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\cos n\varphi\,d\varphi\right)\cos n\theta + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\sin n\varphi\,d\varphi\right)\sin n\theta.
Definimos os coeficientes de Fourier por
a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\,d\varphi,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\cos n\varphi\,d\varphi,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\sin n\varphi\,d\varphi,\qquad n\ge1.
Comparando termo a termo com a expressão de u(c,\theta) vemos que
A_n = a_n\, c^{n},\qquad B_n = b_n\, c^{n}.
Logo, substituindo essas relações na solução para r>c, obtemos explicitamente cada modo.

Passo 9

Substituindo os coeficientes encontrados, a solução final, explicitamente escrita, é
\boxed{\,u(r,\theta)=a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{c^n}{r^n}\right)\big(a_n\cos n\theta + b_n\sin n\theta\big),\qquad r\ge c,}
onde
a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\,d\varphi,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\cos n\varphi\,d\varphi,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\sin n\varphi\,d\varphi,\quad n\ge1.
Comentário final rápido: por propriedades do problema de Dirichlet e do princípio do máximo para harmônicas, esta solução é única entre funções harmônicas limitadas no exterior e que assumem f em r=c.

Resposta

u(r,\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\,d\varphi + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{c^n}{r^n}\right)\left(\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\cos n\varphi\,d\varphi\right)\cos n\theta + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{c^n}{r^n}\right)\left(\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\varphi)\sin n\varphi\,d\varphi\right)\sin n\theta.

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