Resolva o problema de Dirichlet exterior para um disco circular de raio
se
. Em outras palavras, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa que coincide com o plano
inteiro no qual um buraco circular de raio
tenha sido feito em torno da origem e a temperatura na circunferência do buraco seja
. [Sugestão: Considere a temperatura
limitada quando
.]
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a temperatura de regime permanente
no domínio exterior ao círculo de raio
(ou seja, para
), sabendo que na borda do buraco a temperatura é dada por
e que a solução é limitada quando
. Informação relevante fornecida:
- Domínio:
. - Condição de contorno: valor prescrito na circunferência
, . - Condição no infinito:
é limitada quando .
A tarefa: determinar explicitamentepara .
Passo 2
Escrevemos a equação que governa a temperatura em regime permanente (equação de Laplace) em coordenadas polares. A função
deve ser harmônica em
, isto é,
Explico:
é o laplaciano em coordenadas polares e as derivadas são parciais em relação a
e
. Nosso objetivo é achar todas as funções
que satisfaçam essa equação e as condições de contorno dadas.
Passo 3
Tentamos solução por separação de variáveis, assumindo uma solução da forma
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por
obtemos
Cada termo depende de uma única variável, logo ambos devem ser iguais a uma constante oposta; chamamos essa constante de
. Assim obtemos os dois ODEs:
Passo 4
Como
deve ser
-periódica (função angular), os autovalores
admissíveis são
com
. Explico por quê: a equação
tem soluções oscilatórias apenas quando
; impor
força
a ser inteiro. Para cada
temos:
- Para
: constante. - Para
: .
Passo 5
Agora resolvemos a parte radial para cada
.
- Caso
(ou seja ): a equação radial é
Isso é uma equação de Euler que integra para
onde
são constantes.
- Para
(ou seja ): a equação radial é
cuja solução geral é
novamente com constantes
.
Explicação curta: a equação radial é uma equação de Euler-Cauchy; procura-se
e obtém-se uma equação quadrática para
, cujo resultado dá essas potências.
Passo 6
Combinando as partes angular e radial, a solução harmônica geral no domínio exterior (antes de impor condições no infinito) é a soma das contribuições para todos os
:
Podemos reorganizar os coeficientes para escrever mais simplesmente:
Isto é o desenvolvimento de Fourier em
com cada modo tendo a dependência radial apropriada.
Passo 7
Imponha a condição de ser limitada quando
. Observações sobre comportamento:
-
quando , então para que seja limitada precisamos de . - Termos com
(para ) crescem como potência e portanto também fariam explodir quando . Logo seus coeficientes devem ser zero.
Consequentemente, os únicos termos que permanecem são o termo constante (modo) e os modos decrescentes para . Assim a forma da solução limitada é
Isso tem sentido físico: longe do buraco a temperatura tende a um valor constante
, e as variações angulares ficam com decaimento
.
Passo 8
Ajustamos os coeficientes impondo a condição de contorno na circunferência
:
Isto diz que a série em
que aparece deve ser a série de Fourier de
. Portanto expandimos
em série de Fourier:
Definimos os coeficientes de Fourier por
Comparando termo a termo com a expressão de
vemos que
Logo, substituindo essas relações na solução para
, obtemos explicitamente cada modo.
Passo 9
Substituindo os coeficientes encontrados, a solução final, explicitamente escrita, é
onde
Comentário final rápido: por propriedades do problema de Dirichlet e do princípio do máximo para harmônicas, esta solução é única entre funções harmônicas limitadas no exterior e que assumem
em
.