- Dentre todos os triângulos retângulos de área
determine o que tem hipotenusa mínima.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos:
- Pede: entre todos os triângulos retângulos de área
(com ), determinar qual triângulo tem a hipotenusa mínima. - Informação dada: a área do triângulo vale
(fixa). - Não há outras restrições além de ser triângulo retângulo e ter área
.
Passo 2
Definição de variáveis e fórmulas que vamos usar:
- Seja
e os comprimentos dos catetos do triângulo retângulo. - Explicação: os catetos são os lados que formam o ângulo reto.
- Seja
a hipotenusa. - Explicação: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto.
- Fórmulas fundamentais:
- Área do triângulo:
. Aqui é dada e fixa. - Teorema de Pitágoras:
.
- Área do triângulo:
Passo 3
Transformar o problema numa forma de otimização simples:
- Objetivo original: minimizar
sujeitando-se à condição . - Observação importante: minimizar
é equivalente a minimizar , porque a função é estritamente crescente para . - Usando o Teorema de Pitágoras, escreveremos
- A restrição da área pode ser escrita como
Portanto queremos minimizar
sujeito a
.
Passo 4
Usar uma desigualdade simples e didática para obter o mínimo:
- Considere o quadrado da diferença dos catetos, que é sempre não negativo:
- Desenvolvendo o quadrado obtemos
ou seja
- Como da restrição temos
, substituindo:
- Portanto
o que implica
- Interpretação: a menor possível para
é , e a menor possível para é .
Passo 5
Determinar quando ocorre a igualdade (ou seja, o triângulo que atinge esse mínimo):
- A desigualdade
vira igualdade exatamente quando , isto é, quando . - Assim, o mínimo
é atingido quando os catetos são iguais: . - Encontrar o valor dos catetos quando
usando :
- Calcular a hipotenusa correspondente:
Passo 6
Comentário didático rápido (motivo intuitivo e alternativa):
- Intuição: para produto fixo, manter os fatores tão próximos quanto possível minimiza a soma dos quadrados; aqui isso resulta em catetos iguais — o triângulo é retângulo isósceles.
- Método alternativo (cálculo): poderia-se parametrizar
e minimizar derivando; isso leva à mesma condição . A abordagem usada acima (desigualdade ) é mais rápida e eleganta em prova.
Resposta
Triângulo retângulo isósceles com catetos
.
A hipotenusa mínima é .
A hipotenusa mínima é