1. Dentre todos os triângulos retângulos de área S determine o que tem hipotenusa mínima.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos:
  • Pede: entre todos os triângulos retângulos de área S (com S>0), determinar qual triângulo tem a hipotenusa mínima.
  • Informação dada: a área do triângulo vale S (fixa).
  • Não há outras restrições além de ser triângulo retângulo e ter área S.

Passo 2

Definição de variáveis e fórmulas que vamos usar:
  • Seja a>0 e b>0 os comprimentos dos catetos do triângulo retângulo.
    • Explicação: os catetos são os lados que formam o ângulo reto.
  • Seja c>0 a hipotenusa.
    • Explicação: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto.
  • Fórmulas fundamentais:
    • Área do triângulo: \displaystyle S=\tfrac{1}{2}ab. Aqui S é dada e fixa.
    • Teorema de Pitágoras: \displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 3

Transformar o problema numa forma de otimização simples:
  • Objetivo original: minimizar c sujeitando-se à condição \tfrac{1}{2}ab=S.
  • Observação importante: minimizar c é equivalente a minimizar c^{2}, porque a função x\mapsto x^{2} é estritamente crescente para x>0.
  • Usando o Teorema de Pitágoras, escreveremos
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
  • A restrição da área pode ser escrita como
ab=2S.
Portanto queremos minimizar a^{2}+b^{2} sujeito a ab=2S.

Passo 4

Usar uma desigualdade simples e didática para obter o mínimo:
  • Considere o quadrado da diferença dos catetos, que é sempre não negativo:
(a-b)^{2}\ge 0.
  • Desenvolvendo o quadrado obtemos
a^{2}+b^{2}-2ab\ge 0,
ou seja
a^{2}+b^{2}\ge 2ab.
  • Como da restrição temos ab=2S, substituindo:
a^{2}+b^{2}\ge 2\cdot(2S)=4S.
  • Portanto
c^{2}=a^{2}+b^{2}\ge 4S,
o que implica
c\ge 2\sqrt{S}.
  • Interpretação: a menor possível para c^{2} é 4S, e a menor possível para c é 2\sqrt{S}.

Passo 5

Determinar quando ocorre a igualdade (ou seja, o triângulo que atinge esse mínimo):
  • A desigualdade a^{2}+b^{2}\ge 2ab vira igualdade exatamente quando (a-b)^{2}=0, isto é, quando a=b.
  • Assim, o mínimo c_{\min}=2\sqrt{S} é atingido quando os catetos são iguais: a=b.
  • Encontrar o valor dos catetos quando a=b usando ab=2S:
a^{2}=2S\quad\Rightarrow\quad a=b=\sqrt{2S}.
  • Calcular a hipotenusa correspondente:
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2a^{2}}=\sqrt{2\cdot(2S)}=2\sqrt{S}.

Passo 6

Comentário didático rápido (motivo intuitivo e alternativa):
  • Intuição: para produto fixo, manter os fatores tão próximos quanto possível minimiza a soma dos quadrados; aqui isso resulta em catetos iguais — o triângulo é retângulo isósceles.
  • Método alternativo (cálculo): poderia-se parametrizar b=2S/a e minimizar c^{2}=a^{2}+(2S/a)^{2} derivando; isso leva à mesma condição a^{2}=2S. A abordagem usada acima (desigualdade (a-b)^{2}\ge0) é mais rápida e eleganta em prova.

Resposta

Triângulo retângulo isósceles com catetos a=b=\sqrt{2S}.
A hipotenusa mínima é c_{\min}=2\sqrt{S}.

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