- Dentre todos os triângulos de área
determine o que tem o perímetro menor.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede: dentre todos os triângulos cuja área é fixada e igual a
, determinar qual triângulo tem o menor perímetro (e, se quiser, o valor desse perímetro mínimo). - Informação dada: a área do triângulo é
(fixa e positiva).
Nada mais é fornecido; as variáveis que vamos usar serão os lados do triângulo e o semiperímetro. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Notação e fórmula útil (Heron):
- Seja
os comprimentos dos lados do triângulo e seja o semiperímetro . - A área
pode ser expressa pela fórmula de Heron:
Expliquei rapidamente o que é cada coisa:
é metade do perímetro; os termos
são positivos porque em todo triângulo cada lado é menor que a soma dos outros dois. A fórmula de Heron é padrão e relaciona a área com os lados.
Passo 3
Reescrever a fórmula de Heron de modo conveniente: elevar ao quadrado para eliminar a raiz:
Para simplificar a manipulação, introduzo as variáveis
que são positivas. Note que
porque
. Em termos de
a fórmula de Heron fica
Passo 4
A desigualdade AM-GM para três números positivos (mini-aula):
A desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM-GM) diz que, para ,
A desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM-GM) diz que, para
com igualdade se, e somente se,
. Essa desigualdade é bem conhecida e muito útil em problemas de otimização sem cálculo. Elevando ambos os lados ao cubo obtemos a forma multiplicativa
com igualdade quando
.
Passo 5
Aplicar AM-GM ao produto
sabendo que
:
Usando a desigualdade do passo anterior,
Usando a desigualdade do passo anterior,
Substituindo na expressão de
obtida no passo 3:
Portanto temos a desigualdade
Passo 6
Isolar
para obter limite inferior do semiperímetro:
Da desigualdade do passo anterior segue
Da desigualdade do passo anterior segue
Tomando a raiz quadrada dos dois lados (tudo positivo) dá
Tomando nova raiz quadrada:
Como o perímetro
é
, obtemos o limite inferior para o perímetro:
Passo 7
Condição de igualdade (quando o mínimo é alcançado):
A igualdade na cadeia de desigualdades ocorre exatamente quando, na aplicação da AM-GM, temos igualdade, isto é, quando
A igualdade na cadeia de desigualdades ocorre exatamente quando, na aplicação da AM-GM, temos igualdade, isto é, quando
Mas
; se
então
e, subtraindo
, segue
. Logo a igualdade ocorre quando os três lados são iguais — isto é, quando o triângulo é equilátero. Portanto o menor perímetro é atingido por um triângulo equilátero de área
.
Passo 8
Expressão alternativa do perímetro mínimo (verificação prática):
Podemos verificar de outra forma que as expressões coincidem. Para um triângulo equilátero de lado a área é
Podemos verificar de outra forma que as expressões coincidem. Para um triângulo equilátero de lado
Daí
O perímetro desse equilátero é
, logo
Simplificando
, obtemos exatamente
Resposta
O triângulo equilátero.
O perímetro mínimo é .
O perímetro mínimo é