1. Dentre todos os triângulos de área S determine o que tem o perímetro menor.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede: dentre todos os triângulos cuja área é fixada e igual a S, determinar qual triângulo tem o menor perímetro (e, se quiser, o valor desse perímetro mínimo).
  • Informação dada: a área do triângulo é \,S (fixa e positiva).
    Nada mais é fornecido; as variáveis que vamos usar serão os lados do triângulo e o semiperímetro. A resolução começa a seguir.

Passo 2

Notação e fórmula útil (Heron):
  • Seja a,b,c os comprimentos dos lados do triângulo e seja o semiperímetro \displaystyle p=\frac{a+b+c}{2}.
  • A área S pode ser expressa pela fórmula de Heron:
S=\sqrt{\,p(p-a)(p-b)(p-c)\,}.
Expliquei rapidamente o que é cada coisa: p é metade do perímetro; os termos p-a,p-b,p-c são positivos porque em todo triângulo cada lado é menor que a soma dos outros dois. A fórmula de Heron é padrão e relaciona a área com os lados.

Passo 3

Reescrever a fórmula de Heron de modo conveniente: elevar ao quadrado para eliminar a raiz:
S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c).
Para simplificar a manipulação, introduzo as variáveis
x=p-a,\qquad y=p-b,\qquad z=p-c,
que são positivas. Note que
x+y+z=p,
porque x+y+z=(p-a)+(p-b)+(p-c)=3p-(a+b+c)=3p-2p=p. Em termos de x,y,z a fórmula de Heron fica
S^{2}=p\;xyz.

Passo 4

A desigualdade AM-GM para três números positivos (mini-aula):
A desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM-GM) diz que, para x,y,z>0,
\frac{x+y+z}{3}\ge \sqrt[3]{xyz},
com igualdade se, e somente se, x=y=z. Essa desigualdade é bem conhecida e muito útil em problemas de otimização sem cálculo. Elevando ambos os lados ao cubo obtemos a forma multiplicativa
xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^{3},
com igualdade quando x=y=z.

Passo 5

Aplicar AM-GM ao produto xyz sabendo que x+y+z=p:
Usando a desigualdade do passo anterior,
xyz\le\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=\frac{p^{3}}{27}.
Substituindo na expressão de S^{2} obtida no passo 3:
S^{2}=p\;xyz\le p\cdot\frac{p^{3}}{27}=\frac{p^{4}}{27}.
Portanto temos a desigualdade
S^{2}\le\frac{p^{4}}{27}.

Passo 6

Isolar p para obter limite inferior do semiperímetro:
Da desigualdade do passo anterior segue
p^{4}\ge 27\,S^{2}.
Tomando a raiz quadrada dos dois lados (tudo positivo) dá
p^{2}\ge 3\sqrt{3}\,S.
Tomando nova raiz quadrada:
p\ge \sqrt{\,3\sqrt{3}\,S\,}.
Como o perímetro P é P=2p, obtemos o limite inferior para o perímetro:
P\ge 2\sqrt{\,3\sqrt{3}\,S\,}.

Passo 7

Condição de igualdade (quando o mínimo é alcançado):
A igualdade na cadeia de desigualdades ocorre exatamente quando, na aplicação da AM-GM, temos igualdade, isto é, quando
x=y=z.
Mas x=p-a,\;y=p-b,\;z=p-c; se x=y=z então p-a=p-b=p-c e, subtraindo p, segue a=b=c. Logo a igualdade ocorre quando os três lados são iguais — isto é, quando o triângulo é equilátero. Portanto o menor perímetro é atingido por um triângulo equilátero de área S.

Passo 8

Expressão alternativa do perímetro mínimo (verificação prática):
Podemos verificar de outra forma que as expressões coincidem. Para um triângulo equilátero de lado a a área é
S=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}.
Daí
a^{2}=\frac{4S}{\sqrt{3}}\quad\Rightarrow\quad a=2\sqrt{\frac{S}{\sqrt{3}}}.
O perímetro desse equilátero é P_{\min}=3a, logo
P_{\min}=3\cdot 2\sqrt{\frac{S}{\sqrt{3}}}=6\sqrt{\frac{S}{\sqrt{3}}}.
Simplificando 6\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}=2\sqrt{3\sqrt{3}}, obtemos exatamente
P_{\min}=2\sqrt{\,3\sqrt{3}\,S\,}=2\cdot 3^{3/4}\sqrt{S}.

Resposta

O triângulo equilátero.
O perímetro mínimo é P_{\min}=2\sqrt{\,3\sqrt{3}\,S\,}=2\cdot 3^{3/4}\sqrt{S}.

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