- Determine as dimensões do paralelepípedo retangular de área total
cuja diagonal seja mínima.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as dimensões do paralelepípedo retangular (ou seja, os comprimentos das arestas que se encontram num vértice) tal que a área total seja
e a diagonal seja mínima.
Informações dadas:
- A área total do paralelepípedo é
. - Queremos minimizar a diagonal do paralelepípedo.
O que vamos achar: os três comprimentos positivos
,
,
(dimensões das arestas) que satisfazem a condição da área e que tornam a diagonal mínima.
Passo 2
Definimos variáveis e escrevemos as fórmulas básicas.
- Seja
, , as dimensões do paralelepípedo. - A área total
de um paralelepípedo retangular é
Pelo enunciado
. Portanto a condição (restrição) é
- A diagonal
do paralelepípedo vem de Pitágoras em 3D:
Como a raiz quadrada é função crescente, minimizar
é equivalente a minimizar o quadrado da diagonal. Definimos a função a minimizar
sujeita à restrição
Passo 3
Escolha do método e ideia principal.
Método: otimização com restrição. Usarei duas abordagens complementares e didáticas: (A) multiplicadores de Lagrange para encontrar candidatos críticos; (B) uma desigualdade algébrica simples para ver diretamente que o candidato é mínimo e obter o valor mínimo de
. Isso evita argumentos complicados sobre segunda derivada e mostra de forma clara por que a solução é um cubo.
Passo 4
Multiplicadores de Lagrange — montagem.
Formamos a função de Lagrange
Condição de ponto crítico: as derivadas parciais anulam:
junto com a restrição
Passo 5
Resolver o sistema das equações obtidas.
Das equações das derivadas temos
Subtraindo a segunda da primeira:
Analogamente, subtracting other pairs yields
Duas possibilidades:
- Se
então . Nesse caso, por exemplo da primeira equação leva a , o que é impossível porque . Portanto rejeitamos . - Logo deve valer
, , , ou seja
Passo 6
Determinar o valor comum usando a restrição.
Se
, substituímos na restrição
:
Tomando a raiz positiva (dimensões positivas):
Portanto as dimensões são iguais e valem
— ou seja, o paralelepípedo que minimiza a diagonal é um cubo de aresta
.
Passo 7
Verificação direta via desigualdade (confirmação e valor mínimo de
).
Considere a soma dos quadrados das diferenças:
Expandindo, obtemos
ou seja
Pela restrição
, segue
A igualdade ocorre exatamente quando
. Portanto o menor valor possível de
é
, obtido em
. Isso confirma que o ponto encontrado pelos multiplicadores de Lagrange é de facto o mínimo.