1. Determine as dimensões do paralelepípedo retangular de área total 2 a^{2} cuja diagonal seja mínima.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as dimensões do paralelepípedo retangular (ou seja, os comprimentos das arestas que se encontram num vértice) tal que a área total seja 2a^{2} e a diagonal seja mínima.
Informações dadas:
  • A área total do paralelepípedo é 2a^{2}.
  • Queremos minimizar a diagonal do paralelepípedo.
O que vamos achar: os três comprimentos positivos x, y, z (dimensões das arestas) que satisfazem a condição da área e que tornam a diagonal mínima.

Passo 2

Definimos variáveis e escrevemos as fórmulas básicas.
  • Seja x>0, y>0, z>0 as dimensões do paralelepípedo.
  • A área total S de um paralelepípedo retangular é
S = 2(xy + yz + zx).
Pelo enunciado S = 2a^{2}. Portanto a condição (restrição) é
xy + yz + zx = a^{2}.
  • A diagonal d do paralelepípedo vem de Pitágoras em 3D:
d = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Como a raiz quadrada é função crescente, minimizar d é equivalente a minimizar o quadrado da diagonal. Definimos a função a minimizar
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
sujeita à restrição
g(x,y,z)=xy+yz+zx-a^{2}=0.

Passo 3

Escolha do método e ideia principal.
Método: otimização com restrição. Usarei duas abordagens complementares e didáticas: (A) multiplicadores de Lagrange para encontrar candidatos críticos; (B) uma desigualdade algébrica simples para ver diretamente que o candidato é mínimo e obter o valor mínimo de f. Isso evita argumentos complicados sobre segunda derivada e mostra de forma clara por que a solução é um cubo.

Passo 4

Multiplicadores de Lagrange — montagem.
Formamos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-\lambda\,(xy+yz+zx-a^{2}).
Condição de ponto crítico: as derivadas parciais anulam:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2x-\lambda(y+z)=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=2y-\lambda(x+z)=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=2z-\lambda(x+y)=0,
junto com a restrição
xy+yz+zx=a^{2}.

Passo 5

Resolver o sistema das equações obtidas.
Das equações das derivadas temos
2x=\lambda(y+z),\qquad 2y=\lambda(x+z),\qquad 2z=\lambda(x+y).
Subtraindo a segunda da primeira:
2x-2y=\lambda(y+z-x-z)=\lambda(y-x) \quad\Rightarrow\quad (2+\lambda)(x-y)=0.
Analogamente, subtracting other pairs yields
(2+\lambda)(y-z)=0,\qquad (2+\lambda)(z-x)=0.
Duas possibilidades:
  • Se 2+\lambda=0 então \lambda=-2. Nesse caso, por exemplo da primeira equação 2x=-2(y+z) leva a x=-(y+z), o que é impossível porque x,y,z>0. Portanto rejeitamos \lambda=-2.
  • Logo deve valer x-y=0, y-z=0, z-x=0, ou seja
x=y=z.

Passo 6

Determinar o valor comum usando a restrição.
Se x=y=z=t>0, substituímos na restrição xy+yz+zx=a^{2}:
3t^{2}=a^{2}\quad\Rightarrow\quad t^{2}=\frac{a^{2}}{3}.
Tomando a raiz positiva (dimensões positivas):
t=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Portanto as dimensões são iguais e valem \dfrac{a}{\sqrt{3}} — ou seja, o paralelepípedo que minimiza a diagonal é um cubo de aresta \dfrac{a}{\sqrt{3}}.

Passo 7

Verificação direta via desigualdade (confirmação e valor mínimo de f).
Considere a soma dos quadrados das diferenças:
(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\ge0.
Expandindo, obtemos
2(x^{2}+y^{2}+z^{2})-2(xy+yz+zx)\ge0,
ou seja
x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge xy+yz+zx.
Pela restrição xy+yz+zx=a^{2}, segue
x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge a^{2}.
A igualdade ocorre exatamente quando x=y=z. Portanto o menor valor possível de f é a^{2}, obtido em x=y=z=\dfrac{a}{\sqrt{3}}. Isso confirma que o ponto encontrado pelos multiplicadores de Lagrange é de facto o mínimo.

Resposta

x=y=z=\dfrac{a}{\sqrt{3}}

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