Dentre as transformações a seguir, verifiques quais são lineares:
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathrm{M}_{2 \times 2} ; \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left[\begin{array}{cc}2 x & x+y \\\ y & -x\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear candidata \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to \mathrm{M}_{2\times2} definida por
\mathrm{T}(x,y)=\begin{pmatrix}2x & x+y\\[4pt] y & -x\end{pmatrix}.
A pergunta é: verificar se essa transformação é linear (ou seja, responder “é linear” ou “não é linear”). As informações relevantes que temos são apenas a fórmula explícita de \mathrm{T}(x,y).]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar claramente o que significa “ser linear” (passo didático importante): uma transformação \mathrm{T} é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
\mathrm{(A)}\quad \mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)
\mathrm{(H)}\quad \mathrm{T}(\alpha u)=\alpha\,\mathrm{T}(u).
Se preferir, verificar que ambas valem é equivalente a mostrar que \mathrm{T} preserva combinações lineares (ou seja, \mathrm{T}(\alpha u+\beta v)=\alpha\mathrm{T}(u)+\beta\mathrm{T}(v) para todos \alpha,\beta). Vou mostrar as duas propriedades de forma bem explícita e também dar uma visão alternativa (escrever \mathrm{T} como combinação linear de matrizes constantes), porque isso costuma deixar tudo mais claro na prova.

Passo 3

Escrever \mathrm{T}(x,y) como combinação linear de duas matrizes constantes. Observe que
\begin{pmatrix}2x & x+y\\[4pt] y & -x\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Chame
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Então
\mathrm{T}(x,y)=xA+yB.
Explicação didática curta: escrever a transformação nessa forma já é um forte indício de linearidade, porque a passagem (x,y)\mapsto xA+yB é obviamente linear nas coordenadas x,y: somar vetores ou multiplicar por escalar entra diretamente nos coeficientes x e y.]

Passo 4

Verificação explícita da aditividade \mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v).
Sejam u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2)
e, usando a forma xA+yB,
\mathrm{T}(u+v)=(x_1+x_2)A+(y_1+y_2)B.
Pelo distributivo para matrizes,
(x_1+x_2)A+(y_1+y_2)B = x_1A+y_1B + x_2A+y_2B.
Mas as duas parcelas são exatamente \mathrm{T}(u) e \mathrm{T}(v). Portanto
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v).
Aqui usei propriedades básicas da multiplicação escalar e da adição em espaços de matrizes (que funcionam igualzinho às do espaço vetorial).

Passo 5

Verificação explícita da homogeneidade \mathrm{T}(\alpha u)=\alpha\,\mathrm{T}(u).
Para u=(x,y) e \alpha\in\mathbb{R},
\mathrm{T}(\alpha u)=\mathrm{T}(\alpha x,\alpha y)=(\alpha x)A+(\alpha y)B=\alpha(xA+yB)=\alpha\,\mathrm{T}(x,y).
Novamente usei a distributividade do escalar em matrizes. Isso mostra a propriedade de homogeneidade para todo escalar \alpha.

Passo 6

Resumo das duas verificações: como mostramos que tanto a aditividade quanto a homogeneidade valem para todos vetores de \mathbb{R}^2 e todo escalar, concluímos que \mathrm{T} é linear.
Dica extra (útil em provas): outra forma totalmente equivalente e mecânica de ver isso é “vetorizar” a matriz imagem e escrever \mathrm{T} como multiplicação por uma matriz 4\times2. Se tomarmos a ordem de entradas (1,1),(1,2),(2,1),(2,2), então
\mathrm{vec}\big(\mathrm{T}(x,y)\big)=\begin{pmatrix}2x\\[4pt] x+y\\[4pt] y\\[4pt] -x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 1 & 1\\[4pt] 0 & 1\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.
Uma transformação que é dada por multiplicação por matriz é linear por definição, então isso é mais uma confirmação. Mas para a sua prova, mostrar a aditividade e a homogeneidade como fiz nos passos anteriores já é suficiente e direto.]

Resposta

T é linear.

Exercícios relacionados