- Dentre as transformações a seguir, verifiques quais são lineares:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Passo 1
O enunciado dá oito transformações lineares candidatas
com domínio
(ou imagem em
ou
ou
) e pede que se verifique quais dessas transformações são lineares. Vou listar claramente cada transformação e o que se pede para cada uma:
- (a)
. - (b)
. - (c)
. - (d)
. - (e)
. - (f)
. - (g)
. - (h)
.
O que é pedido: para cada item, decidir se
é uma transformação linear (sim ou não) e justificar de forma algebraica. Nada mais é pedido além dessa verificação.]
Passo 2
O que significa “ser linear”? Vamos revisar a definição de forma clara e com exemplos pequenos para você lembrar na prova.
Definição: uma transformação
entre espaços vetoriais é linear se, para todos vetores
do domínio e todo escalar
, valem as duas propriedades:
Essas duas propriedades juntas equivalem a:
para combinações lineares quaisquer.
Observações úteis que uso sempre como “atalho” em provas:
- Uma consequência imediata da linearidade é que
, onde é o vetor zero do domínio e o vetor zero do contradomínio. Logo, se , então não é linear. Atenção: é necessário, mas não suficiente — é um teste rápido para excluir casos com translação constante. - Se as componentes de
são expressas por combinações lineares das coordenadas (isto é, somas e multiplicações por escalares das variáveis, sem termos quadráticos, produtos entre variáveis, valores absolutos, nem constantes adicionadas), então costuma ser linear. Ex.: define uma transformação linear. - Exemplos de coisas que quebram linearidade: termos constantes adicionados (como
ou ), termos não-lineares como , produtos , valor absoluto , funções que dependem de sinais etc.
Método de verificação que vou aplicar em cada item:
- Calcular
. Se for diferente de (vetor zero no contradomínio), concluo que não é linear. - Se passar no passo 1, verificar diretamente as propriedades com vetores genéricos
e e escalar . Fazer as contas mostrando versus e versus . Se alguma igualdade falhar, não é linear; se ambas valem para expressões genéricas, é linear.
Agora aplico esse método a cada item, mostrando as contas passo a passo (sem pular nada).
Passo 3
Item (a):
.
- Teste do vetor zero:
então passa no teste necessário
.
- Teste da aditividade com vetores genéricos
e :
Aplicando
:
Agora
:
As duas expressões coincidem, logo a aditividade vale.
- Teste da homogeneidade para escalar
:
E
As duas expressões coincidem, então a homogeneidade também vale.
Portanto (a) é linear.
Passo 4
Item (b):
.
- Teste do vetor zero:
Como
, concluímos imediatamente que
não é linear. (Explicação intuitiva: o termo constante
desloca sempre o segundo componente por
, e transformações lineares não admitem esse deslocamento.)
Fim do teste: (b) não é linear.
Passo 5
Item (c):
.
- Teste do vetor zero:
passou no teste necessário.
- Teste da homogeneidade com escalar
e vetor :
Enquanto
Comparando as segundas componentes vemos
versus
. Para homogeneidade deveríamos ter
para todo
, o que só acontece para certos valores especiais (por exemplo
ou
), mas não de modo geral. Portanto a homogeneidade falha e
não é linear.
Intuição: o termo
é quadrático em
, e transformações lineares exigem que as componentes sejam funções lineares das coordenadas.
Conclusão: (c) não é linear.
Passo 6
Item (d):
.
- Teste do vetor zero:
passa.
- Aditividade para
, :
Coincidem, aditividade vale.
- Homogeneidade para escalar
:
Portanto homogeneidade vale.
Como ambas valem, (d) é linear. Observação prática:
é simplesmente multiplicar a primeira coordenada por
e a segunda por
; isso é um operador diagonal na base canônica.
Passo 7
Item (e):
.
- Teste do vetor zero:
que é diferente de
. Logo
não é linear. O termo constante
no segundo componente impede a linearidade.
Conclusão: (e) não é linear.
Passo 8
Item (f):
.
- Teste do vetor zero:
passa esse teste necessário.
- Teste da homogeneidade com, por exemplo,
e :
Enquanto
Logo
neste caso:
. Assim a homogeneidade falha (por causa do valor absoluto que “perde” o sinal). Também a aditividade pode falhar em combinações que trocam sinais.
Portanto (f) não é linear.
Passo 9
Item (g):
, imagem em
.
- Teste do vetor zero:
que é a matriz zero, então passa o teste.
- Aditividade com
, :
Expandindo:
Agora
:
As duas matrizes coincidem, logo aditividade vale.
- Homogeneidade para escalar
:
Portanto homogeneidade vale.
Todas as propriedades de linearidade são satisfeitas, então (g) é linear. Observação: cada entrada da matriz é uma combinação linear das coordenadas
e
, sem termos não-lineares ou constantes, então
é uma transformação linear natural de
em
.]
Passo 10
Item (h):
(escalares reais).
- Teste do vetor zero:
passa o teste necessário.
- Teste da homogeneidade com escalar
e vetor :
Enquanto
Comparando,
e
. Para homogeneidade ser verdadeira para todo
precisaríamos de
para todo
, o que não é verdade (por exemplo, escolha
,
,
:
enquanto
). Portanto não é linear.
Intuição:
é bilinear (linear em cada argumento separadamente se o outro for fixado), mas como função do vetor
conjuntamente não é linear — o produto
é um termo quadrático em coordenas combinadas.
Conclusão: (h) não é linear.
Resposta
a), d) e g)