1. Dentre as transformações a seguir, verifiques quais são lineares:
    a. \quad \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ; \quad \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, 0)
    b. \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ; \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}-\mathrm{y}, 1)
    c. \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ; \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left(2 \mathrm{x}, \mathrm{y}^{2}\right)
    d. \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ; \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}, 3 \mathrm{y})
    e. \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ; \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}, 3+\mathrm{y})
    f. \quad \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} ; \quad \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x},|\mathrm{y}|)
    g. \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathrm{M}_{2 \times 2} ; \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\left[\begin{array}{cc}2 x & x+y \\\ y & -x\end{array}\right]
    h. \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} ; \mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{xy}

Passo 1

O enunciado dá oito transformações lineares candidatas T com domínio \mathbb{R}^2 (ou imagem em \mathbb{R}^2 ou \mathrm{M}_{2\times2} ou \mathbb{R}) e pede que se verifique quais dessas transformações são lineares. Vou listar claramente cada transformação e o que se pede para cada uma:
  • (a) T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\; T(x,y)=(x+y,0).
  • (b) T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\; T(x,y)=(x-y,1).
  • (c) T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\; T(x,y)=(2x,y^2).
  • (d) T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\; T(x,y)=(2x,3y).
  • (e) T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\; T(x,y)=(2x,3+y).
  • (f) T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\; T(x,y)=(x,|y|).
  • (g) T:\mathbb{R}^2\to\mathrm{M}_{2\times2},\; T(x,y)=\begin{bmatrix}2x & x+y\\[4pt] y & -x\end{bmatrix}.
  • (h) T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},\; T(x,y)=xy.
O que é pedido: para cada item, decidir se T é uma transformação linear (sim ou não) e justificar de forma algebraica. Nada mais é pedido além dessa verificação.]

Passo 2

O que significa “ser linear”? Vamos revisar a definição de forma clara e com exemplos pequenos para você lembrar na prova.
Definição: uma transformação T entre espaços vetoriais é linear se, para todos vetores u,v do domínio e todo escalar c, valem as duas propriedades:
\text{(Aditividade)}\qquad T(u+v)=T(u)+T(v),
\text{(Homogeneidade)}\qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Essas duas propriedades juntas equivalem a:
T\!\left(\sum_i c_i u_i\right)=\sum_i c_i T(u_i)
para combinações lineares quaisquer.
Observações úteis que uso sempre como “atalho” em provas:
  • Uma consequência imediata da linearidade é que T(0)=0, onde 0 é o vetor zero do domínio e o vetor zero do contradomínio. Logo, se T(0)\neq 0, então T não é linear. Atenção: T(0)=0 é necessário, mas não suficiente — é um teste rápido para excluir casos com translação constante.
  • Se as componentes de T(x,y) são expressas por combinações lineares das coordenadas (isto é, somas e multiplicações por escalares das variáveis, sem termos quadráticos, produtos entre variáveis, valores absolutos, nem constantes adicionadas), então T costuma ser linear. Ex.: (2x+3y,\,-y) define uma transformação linear.
  • Exemplos de coisas que quebram linearidade: termos constantes adicionados (como +1 ou +3), termos não-lineares como y^2, produtos xy, valor absoluto |y|, funções que dependem de sinais etc.
Método de verificação que vou aplicar em cada item:
  1. Calcular T(0,0). Se for diferente de 0 (vetor zero no contradomínio), concluo que não é linear.
  2. Se passar no passo 1, verificar diretamente as propriedades com vetores genéricos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) e escalar c. Fazer as contas mostrando T(u+v) versus T(u)+T(v) e T(cu) versus cT(u). Se alguma igualdade falhar, T não é linear; se ambas valem para expressões genéricas, T é linear.
Agora aplico esse método a cada item, mostrando as contas passo a passo (sem pular nada).

Passo 3

Item (a): T(x,y)=(x+y,0).
  1. Teste do vetor zero:
T(0,0)=(0+0,0)=(0,0),
então passa no teste necessário T(0)=0.
  1. Teste da aditividade com vetores genéricos u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2):
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Aplicando T:
T(u+v)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;0\big)=(x_1+y_1+x_2+y_2,\;0).
Agora T(u)+T(v):
T(u)=(x_1+y_1,0),\qquad T(v)=(x_2+y_2,0),
T(u)+T(v)=(x_1+y_1+x_2+y_2,\;0).
As duas expressões coincidem, logo a aditividade vale.
  1. Teste da homogeneidade para escalar c:
c\,u=(c x_1,\;c y_1),
T(cu)=\big(c x_1 + c y_1,\;0\big)=(c(x_1+y_1),0).
E
c\,T(u)=c\,(x_1+y_1,0)=(c(x_1+y_1),0).
As duas expressões coincidem, então a homogeneidade também vale.
Portanto (a) é linear.

Passo 4

Item (b): T(x,y)=(x-y,1).
  1. Teste do vetor zero:
T(0,0)=(0-0,1)=(0,1).
Como T(0,0)\neq(0,0), concluímos imediatamente que T não é linear. (Explicação intuitiva: o termo constante 1 desloca sempre o segundo componente por 1, e transformações lineares não admitem esse deslocamento.)
Fim do teste: (b) não é linear.

Passo 5

Item (c): T(x,y)=(2x,y^2).
  1. Teste do vetor zero:
T(0,0)=(0,0^2)=(0,0),
passou no teste necessário.
  1. Teste da homogeneidade com escalar c e vetor u=(x,y):
T(cu)=T(cx,cy)=(2(cx),\;(cy)^2)=(2c x,\;c^2 y^2).
Enquanto
c\,T(u)=c\,(2x,y^2)=(2c x,\;c y^2).
Comparando as segundas componentes vemos c^2 y^2 versus c y^2. Para homogeneidade deveríamos ter c^2 y^2=c y^2 para todo c,y, o que só acontece para certos valores especiais (por exemplo c=0 ou y=0), mas não de modo geral. Portanto a homogeneidade falha e T não é linear.
Intuição: o termo y^2 é quadrático em y, e transformações lineares exigem que as componentes sejam funções lineares das coordenadas.
Conclusão: (c) não é linear.

Passo 6

Item (d): T(x,y)=(2x,3y).
  1. Teste do vetor zero:
T(0,0)=(0,0),
passa.
  1. Aditividade para u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2):
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(2(x_1+x_2),\;3(y_1+y_2))=(2x_1+2x_2,\;3y_1+3y_2).
T(u)+T(v)=(2x_1,3y_1)+(2x_2,3y_2)=(2x_1+2x_2,\;3y_1+3y_2).
Coincidem, aditividade vale.
  1. Homogeneidade para escalar c:
T(cu)=T(cx,cy)=(2cx,3cy)=(c(2x),c(3y))=c(2x,3y)=cT(u).
Portanto homogeneidade vale.
Como ambas valem, (d) é linear. Observação prática: T é simplesmente multiplicar a primeira coordenada por 2 e a segunda por 3; isso é um operador diagonal na base canônica.

Passo 7

Item (e): T(x,y)=(2x,3+y).
  1. Teste do vetor zero:
T(0,0)=(0,3+0)=(0,3),
que é diferente de (0,0). Logo T não é linear. O termo constante 3 no segundo componente impede a linearidade.
Conclusão: (e) não é linear.

Passo 8

Item (f): T(x,y)=(x,|y|).
  1. Teste do vetor zero:
T(0,0)=(0,|0|)=(0,0),
passa esse teste necessário.
  1. Teste da homogeneidade com, por exemplo, c=-1 e u=(0,1):
T(u)=T(0,1)=(0,|1|)=(0,1).
c\,T(u)=-1\cdot(0,1)=(0,-1).
Enquanto
T(cu)=T(0,-1)=(0,|-1|)=(0,1).
Logo T(cu)\neq cT(u) neste caso: (0,1)\neq(0,-1). Assim a homogeneidade falha (por causa do valor absoluto que “perde” o sinal). Também a aditividade pode falhar em combinações que trocam sinais.
Portanto (f) não é linear.

Passo 9

Item (g): T(x,y)=\begin{bmatrix}2x & x+y\\[4pt] y & -x\end{bmatrix}, imagem em \mathrm{M}_{2\times2}.
  1. Teste do vetor zero:
T(0,0)=\begin{bmatrix}0 & 0+0\\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{bmatrix},
que é a matriz zero, então passa o teste.
  1. Aditividade com u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2):
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2),
T(u+v)=\begin{bmatrix}2(x_1+x_2) & (x_1+x_2)+(y_1+y_2)\\[4pt] y_1+y_2 & -(x_1+x_2)\end{bmatrix}.
Expandindo:
T(u+v)=\begin{bmatrix}2x_1+2x_2 & x_1+y_1+x_2+y_2\\[4pt] y_1+y_2 & -x_1-x_2\end{bmatrix}.
Agora T(u)+T(v):
T(u)=\begin{bmatrix}2x_1 & x_1+y_1\\[4pt] y_1 & -x_1\end{bmatrix},\qquad T(v)=\begin{bmatrix}2x_2 & x_2+y_2\\[4pt] y_2 & -x_2\end{bmatrix},
T(u)+T(v)=\begin{bmatrix}2x_1+2x_2 & x_1+y_1+x_2+y_2\\[4pt] y_1+y_2 & -x_1-x_2\end{bmatrix}.
As duas matrizes coincidem, logo aditividade vale.
  1. Homogeneidade para escalar c:
T(cu)=T(cx,cy)=\begin{bmatrix}2(cx) & cx+cy\\[4pt] cy & -cx\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c(2x) & c(x+y)\\[4pt] c y & c(-x)\end{bmatrix}=c\,T(u).
Portanto homogeneidade vale.
Todas as propriedades de linearidade são satisfeitas, então (g) é linear. Observação: cada entrada da matriz é uma combinação linear das coordenadas x e y, sem termos não-lineares ou constantes, então T é uma transformação linear natural de \mathbb{R}^2 em \mathrm{M}_{2\times2}.]

Passo 10

Item (h): T(x,y)=xy (escalares reais).
  1. Teste do vetor zero:
T(0,0)=0\cdot 0=0,
passa o teste necessário.
  1. Teste da homogeneidade com escalar c e vetor u=(x,y):
T(cu)=T(cx,cy)=(cx)(cy)=c^2 xy.
Enquanto
c\,T(u)=c\,(xy)=c xy.
Comparando, T(cu)=c^2 xy e cT(u)=c xy. Para homogeneidade ser verdadeira para todo c,x,y precisaríamos de c^2 xy=c xy para todo c,x,y, o que não é verdade (por exemplo, escolha c=2, x=1, y=1: T(cu)=4 enquanto cT(u)=2). Portanto não é linear.
Intuição: T é bilinear (linear em cada argumento separadamente se o outro for fixado), mas como função do vetor (x,y) conjuntamente não é linear — o produto xy é um termo quadrático em coordenas combinadas.
Conclusão: (h) não é linear.

Resposta

a), d) e g)

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