De dentro do ônibus, que ainda fazia manobras para estacionar no ponto de parada, o rapaz, atrasado para o encontro com a namorada, a vê indo embora pela calçada. Quando finalmente o ônibus para e o rapaz desce, a distância que o separa da namorada é de 180 m . Sabendo que a namorada do rapaz se movimenta com velocidade constante de 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e que o rapaz pode correr com velocidade constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, o tempo mínimo para que ele consiga alcançá-la é de
a) 10 s
b) 45 s
c) 25 s
d) 50 s
e) 40 s

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Distância inicial entre o rapaz e a namorada no instante em que ele começa a persegui-la: 180\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade da namorada (constante): v_{g}=0,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade do rapaz correndo (constante): v_{r}=5\\ \mathrm{m/s}.
O enunciado pergunta: qual é o tempo mínimo para que o rapaz consiga alcançá-la?

Passo 2

Entendendo o movimento e montando as equações (ideia de “velocidade relativa”):
  • Vou escolher um eixo de referência e marcar o instante em que o rapaz começa a correr como t=0.
  • Posicionamentos no instante t=0:
    • posição do rapaz: x_{r}(0)=0 (origem);
    • posição da namorada: x_{g}(0)=180\\ \mathrm{m} (à frente).
  • Como ambos se movem com velocidades constantes e na mesma direção, suas posições em função do tempo são retas (equações do movimento retilíneo uniforme): x_{r}(t)=v_{r}\,t
x_{g}(t)=180 + v_{g}\,t
onde t está em segundos e as posições em metros.
  • O rapaz alcança a namorada quando as posições forem iguais: x_{r}(t)=x_{g}(t).Substituindo as expressões: v_{r}\,t = 180 + v_{g}\,t.Reorganizando: (v_{r}-v_{g})\,t = 180.Portanto o tempo necessário é t = \frac{180}{v_{r}-v_{g}}.
Explicação didática do porquê usamos v_{r}-v_{g}: quando dois objetos se movem na mesma direção, a taxa com que a distância entre eles diminui é a diferença entre as velocidades (velocidade relativa). Aqui o rapaz “se aproxima” da namorada com velocidade relativa v_{r}-v_{g}.

Passo 3

Aplicando os números:
  • Primeiro calcule a velocidade relativa:
    v_{r}-v_{g}=5 - 0,5 = 4,5\\ \mathrm{m/s}.
  • Agora o tempo:
    t=\frac{180}{4,5}.
    Para dividir sem calculadora, multiplico numerador e denominador por 10:
    t=\frac{1800}{45}.
    Dividindo por 9:
    t=\frac{200}{5}.
    Finalmente:
    t=40\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Interpretação e dica para a prova: o resultado t=40\\ \mathrm{s} significa que, correndo a 5\\ \mathrm{m/s} enquanto ela anda a 0,5\\ \mathrm{m/s}, o rapaz reduz a distância entre eles a 4,5\\ \mathrm{m/s} e precisa de 180/4,5 segundos para fechar os 180\\ \mathrm{m}. Esse tipo de problema é padrão: montar as posições e igualar, ou pensar diretamente em velocidade relativa.

Resposta

e) 40\\ \mathrm{s}

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