Muitos historiadores acreditam que a zarabatana foi um instrumento desenvolvido pelos índios da América do Sul para caçar aves e animais rasteiros. Essa arma se utiliza de pequenos dardos pontiagudos com veneno, que são lançados a altas velocidades apenas com um forte sopro. Em geral, um índio de 1,8 \mathrm{~m} de altura consegue lançar um dardo com 12 m de alcance.
Desprezando os atritos com o ar, usando g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e considerando que o tempo desse tipo de movimento é o mesmo de uma queda livre, o valor aproximado da velocidade de lançamento horizontal do dardo é de:
a) 6,6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
b) 20,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
c) 72,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}
d) 90,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo peguei do enunciado):
  • altura do índio (altura de lançamento): \,1,8\\ \mathrm{m}\,;
  • alcance horizontal do dardo: \,12\\ \mathrm{m}\,;
  • aceleração da gravidade: \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\,;
  • desprezar atrito do ar; o tempo de voo é o mesmo que o de uma queda livre desde a altura dada.
O que o problema pede:
  • determinar a velocidade de lançamento horizontal aproximada do dardo e escolher a alternativa correta entre:
    a) 6,6\\ \mathrm{km/h}
    b) 20,0\\ \mathrm{km/h}
    c) 72,0\\ \mathrm{km/h}
    d) 90,0\\ \mathrm{km/h}

Passo 2

Entendendo a física (explicação didática): num lançamento quase horizontal sem atrito a componente horizontal da velocidade permanece constante e a componente vertical é igual à de uma queda livre. Para a queda livre a relação que liga a altura \,h\,, a gravidade \,g\, e o tempo de queda \,t\, é:
h=\tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}.
Aqui \,h\, é a distância vertical percorrida (em metros), \,g\, é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}) e \,t\, é o tempo em segundos. Essa fórmula vem da integração da aceleração constante: posição vertical inicial zero e velocidade inicial vertical zero.

Passo 3

Calcular o tempo de queda usando \,h=1,8\\ \mathrm{m}\, e \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Primeiro isolamos \,t\,:
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
Agora substituímos os valores:
t=\sqrt{\frac{2\cdot 1,8}{10}}=\sqrt{\frac{3,6}{10}}=\sqrt{0,36}=0,6\\ \mathrm{s}.
Portanto o dardo fica no ar aproximadamente \,0,6\\ \mathrm{s}\,.

Passo 4

Velocidade horizontal: como a velocidade horizontal \,v_{x}\, é constante e o deslocamento horizontal \,d\, é dado, usamos:
v_{x}=\frac{d}{t},
onde \,d=12\\ \mathrm{m}\, (alcance) e \,t=0,6\\ \mathrm{s}\,. Substituindo:
v_{x}=\frac{12}{0,6}=20\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: isso significa que, para percorrer \,12\\ \mathrm{m}\, em \,0,6\\ \mathrm{s}\,, precisa de \,20\\ \mathrm{m/s}\, horizontalmente.

Passo 5

Converter \,20\\ \mathrm{m/s}\, para \mathrm{km/h}. A relação de conversão é
1\\ \mathrm{m/s}=3,6\\ \mathrm{km/h}.
Logo
20\\ \mathrm{m/s}=20\cdot 3,6=72\\ \mathrm{km/h}.

Passo 6

Resumo e escolha da alternativa: obtivemos \,72\\ \mathrm{km/h}\,, que corresponde à alternativa (c). Vai dar certo na prova — respira, você entendeu o raciocínio: tempo pela queda vertical, velocidade horizontal = distância / tempo, depois converte a unidade.

Resposta

c) 72,0\\ \mathrm{km/h}

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