(6 pontos) Uma certa massa fixa de um gás ideal se expande dobrando o volume que ocupa, sempre a partir do mesmo estado inicial. Considere que esta expansão é realizada de duas maneiras. No caso A, a expansão é isotérmica. No caso B, a expansão é adiabática. Comparando as pressões finais, após a expansão, podemos afirmar que:
a) a pressão final é maior no caso B;
b) a pressão final é maior no caso A;
c) as pressões finais são iguais;
e) no caso A, a pressão diminui e no B, aumenta.
d) as pressões aumentaram;
a) a pressão final é maior no caso B;
b) a pressão final é maior no caso A;
c) as pressões finais são iguais;
e) no caso A, a pressão diminui e no B, aumenta.
d) as pressões aumentaram;
Passo 1
O enunciado nos dá isto (tudo tirado do problema):
- Uma massa fixa de um gás ideal parte de um mesmo estado inicial com pressão
e volume . - Em ambos os processos o volume final vale o dobro do inicial, ou seja
. - Caso A: a expansão é isotérmica (temperatura constante).
- Caso B: a expansão é adiabática (sem troca de calor).
A pergunta do enunciado: comparar as pressões finais nos dois casos, isto é comparar(caso A) e (caso B) e decidir qual alternativa entre as dadas corresponde ao resultado.
Passo 2
Resolver o caso A (isotérmico). Conceito e fórmula usada:
- Para um gás ideal em processo isotérmico (temperatura
constante), a lei dos gases ideais implica que o produto é constante durante o processo. Em outras palavras:
Aqui
é a pressão,
o volume,
o número de mols e
a constante universal dos gases; como
e
são constantes no isotérmico, o produto
fica constante.
- Substituindo
obtemos:
Portanto, no processo isotérmico a pressão final vale
.
Passo 3
Resolver o caso B (adiabático). Conceito e fórmula usada:
- Para uma expansão adiabática reversível de um gás ideal vale a lei adiabática
onde
é a razão de capacidades térmicas à pressão e ao volume:
Aqui
e
são as capacidades molares a pressão e a volume constantes, respectivamente. Para qualquer gás ideal vale
, logo
porque
e
. Assim
é sempre maior que 1 para um gás ideal (por exemplo, para gás monoatômico
, para diatômico aproximado
, etc.).
- Aplicando a lei adiabática entre o estado inicial e final:
Substituindo
e isolando
:
Passo 4
Comparar as pressões finais
e
.
- Temos
- Como
, a potência é menor do que . Formalmente, para e vale . - Multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Logo a pressão final no caso B (adiabático) é menor que a do caso A (isotérmico).
Breve intuição física (para fixar): na expansão isotérmica o gás troca calor com o ambiente para manter a temperatura; assim a queda de pressão vem só do aumento de volume. Na expansão adiabática não entra calor e o gás faz trabalho usando sua energia interna, o que reduz a temperatura; essa queda de temperatura faz a pressão cair mais ainda do que no isotérmico. Por isso
.
Resposta
b)