(6 pontos) Uma certa massa fixa de um gás ideal se expande dobrando o volume que ocupa, sempre a partir do mesmo estado inicial. Considere que esta expansão é realizada de duas maneiras. No caso A, a expansão é isotérmica. No caso B, a expansão é adiabática. Comparando as pressões finais, após a expansão, podemos afirmar que:
a) a pressão final é maior no caso B;
b) a pressão final é maior no caso A;
c) as pressões finais são iguais;
e) no caso A, a pressão diminui e no B, aumenta.
d) as pressões aumentaram;

Passo 1

O enunciado nos dá isto (tudo tirado do problema):
  • Uma massa fixa de um gás ideal parte de um mesmo estado inicial com pressão \,P_i e volume \,V_i.
  • Em ambos os processos o volume final vale o dobro do inicial, ou seja \,V_f = 2V_i.
  • Caso A: a expansão é isotérmica (temperatura constante).
  • Caso B: a expansão é adiabática (sem troca de calor).
    A pergunta do enunciado: comparar as pressões finais nos dois casos, isto é comparar \,P_{A,f} (caso A) e \,P_{B,f} (caso B) e decidir qual alternativa entre as dadas corresponde ao resultado.

Passo 2

Resolver o caso A (isotérmico). Conceito e fórmula usada:
  • Para um gás ideal em processo isotérmico (temperatura \,T constante), a lei dos gases ideais \,P V = n R T implica que o produto \,P V é constante durante o processo. Em outras palavras:
P_i V_i = P_{A,f} V_f.
Aqui \,P é a pressão, \,V o volume, \,n o número de mols e \,R a constante universal dos gases; como \,n e \,T são constantes no isotérmico, o produto \,P V fica constante.
  • Substituindo \,V_f = 2V_i obtemos:
P_{A,f} = \frac{P_i V_i}{V_f} = \frac{P_i V_i}{2 V_i} = \frac{P_i}{2}.
Portanto, no processo isotérmico a pressão final vale \,P_{A,f}=\dfrac{P_i}{2}.

Passo 3

Resolver o caso B (adiabático). Conceito e fórmula usada:
  • Para uma expansão adiabática reversível de um gás ideal vale a lei adiabática
P V^{\gamma} = \text{constante},
onde \,\gamma é a razão de capacidades térmicas à pressão e ao volume:
\gamma = \frac{C_P}{C_V}.
Aqui \,C_P e \,C_V são as capacidades molares a pressão e a volume constantes, respectivamente. Para qualquer gás ideal vale \,C_P = C_V + R, logo
\gamma = 1 + \frac{R}{C_V} > 1,
porque \,R>0 e \,C_V>0. Assim \,\gamma é sempre maior que 1 para um gás ideal (por exemplo, para gás monoatômico \gamma=\tfrac{5}{3}, para diatômico aproximado \gamma=\tfrac{7}{5}, etc.).
  • Aplicando a lei adiabática entre o estado inicial e final:
P_i V_i^{\gamma} = P_{B,f} V_f^{\gamma}.
Substituindo \,V_f = 2V_i e isolando \,P_{B,f}:
P_{B,f} = P_i \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma} = P_i \left(\frac{V_i}{2V_i}\right)^{\gamma} = P_i \left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma}.

Passo 4

Comparar as pressões finais \,P_{A,f} e \,P_{B,f}.
  • Temos
P_{A,f} = \frac{P_i}{2} \qquad\text{e}\qquad P_{B,f} = P_i\left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma}.
  • Como \,\gamma>1, a potência \,\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\gamma} é menor do que \,\dfrac{1}{2}. Formalmente, para 0<\tfrac{1}{2}<1 e \gamma>1 vale \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\gamma} < \left(\tfrac{1}{2}\right)^1 = \tfrac{1}{2}.
  • Multiplicando ambos os lados por P_i>0 obtém-se
P_{B,f} = P_i\left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma} < P_i\frac{1}{2} = P_{A,f}.
Logo a pressão final no caso B (adiabático) é menor que a do caso A (isotérmico).
Breve intuição física (para fixar): na expansão isotérmica o gás troca calor com o ambiente para manter a temperatura; assim a queda de pressão vem só do aumento de volume. Na expansão adiabática não entra calor e o gás faz trabalho usando sua energia interna, o que reduz a temperatura; essa queda de temperatura faz a pressão cair mais ainda do que no isotérmico. Por isso \,P_{B,f}<P_{A,f}.

Resposta

b)

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